笔试算法题（52）：简介 - KMP算法（D.E. Knuth, J.H. Morris, V.R. Pratt Algorithm）

议题：KMP算法（D.E. Knuth, J.H. Morris, V.R. Pratt Algorithm）

分析：

• KMP算法用于在一个主串中找出特定的字符或者模式串。现在假设主串为长度n的数组T[1,n]，模式串为长度m的数组P[1,m]；数组T和P满足：n>m，且所有元素都来自有限字母表中的字符；

• 常规比较方式是将模式字符串作为滑动窗口从左向右匹配主串的每一个位置，每到一个位置的时候都从当前的第一个字符开始比较，相同则比较下一个字符，否则移 到下一个位置。下左图中顶端字母行表示主串，模式串为nano；可以发现此方式在index=2，index=6和index=10的时候进行了无意义的 比较，其原因在于没有利用模式串本身的性质，比如在index2=2的时候已经发现index=3的位置是a，其肯定不会跟模式串的首位字符匹配，所以可 以直接跳到index=4；KMP算法正是利用模式串本身的信息在一次匹配失败之后，一次跳过后面几个不可能匹配的位置，而不是仅跳回到本次匹配起始位置 的下一个位置。

  

• 覆盖函数（Overlay Function）：为了更好的表述模式串的字符信息，KMP引入了覆盖函数，用于计算字符串的左右自我覆盖程度；上面右图表示字符串abaabcaba的自我覆盖函数结果，0表示有一个覆盖。自我覆盖的数学定义如下：

  对于字符串：a0a1…aj-1aj

  其自我覆盖OF(j)=k定义为：a0a1…ak-1ak = aj-kaj-k+1…aj-1aj （0<=j<=Pattern_len）

  从 覆盖函数的定义中可知，如果某次匹配成功匹配到模式串的第k个字符，则通过OF(k)可以得知模式串末尾端与起始端的覆盖长度，而之前的位置都不可能再次 匹配，所以滑动窗口可以一次移动（Pattern_len-OF(j)）长度的位置，并从模式串的OF(j)+1个字符开始比较（之前的字符已经由覆盖函 数确定匹配）；同时需要注意，k值需要尽量大，这样才不会将某些匹配丢失。OF(j)表示长度为j的字符串中左端和右端可以匹配的字符的个 数，0<=j<=Pattern_len；

• 使用递归方式计算模式串中子串对应的OF(k)值：如果已经知道模式串前j个字符的的OF(j)=k，则对于模式串的前j+1个字符的分析如下：

  如果pattern[k+1]==pattern[j+1]，则自我覆盖可以往右延长：OF(j+1)=OF(j)+1=k+1

  如果pattern[k+1]!=pattern[j+1]，则自我覆盖需要往左缩减：此时的前提条件变成已知前k个字符的OF(k)=h:

  如果pattern[h+1]==pattern[j+1]，则OF(j+1)=OF(k)+1=h+1

  如果pattern[h+1]!=pattern[j+1]，则重复求OF(h)的过程直到最左边的字符

• KMP算法中当在主串的m位置作为匹配起始位置，并且当在模式串的j长度时发生匹配失败，下一次在主串中的起始匹配位置不用再回到m+1的位置，而是一次性跳到m+(j-overlay_func[j])的位置；

• 时间复杂度为O(M+N)，其他字符串匹配算法还有如BM（Boyer-Moore）算法和Horspool算法，BM算法的改进算法是SUNDAY- Boyer-Moore-Horspool-Sunday算法；尽管KMP和BM都为线性时间，但是BM算法还是比KMP算法快3-5倍，最快的字符匹配 算法是SUNDAY算法（每次匹配失败后移动的距离更大）；

样例：

 int* ComputeOverlay(const char *pattern, int pat_len) {
 
         /**
          * overlay_func数组存储不同长度子数组的自我覆盖度
          * 子数组都是以最左边的字符作为开始，一次向右增加一个
          * 字符得到的字符串
          * */
         int *overlay_func=new int[pat_len];
         int index;
         /**
          * 设定单独字符或者没有覆盖的字符串的覆盖度为-1
          * */
         overlay_func[]=-;
 
         for(int i=;i<pat_len;i++) {
 
                 /**
                  * 当前长度i的字符串的自我覆盖度由长度为i-1的字符串
                  * 确定
                  * */
                 index=overlay_func[i-];
 
                 /**
                  * pattern[i]是新加入的字符，如果其不等于pattern[index+1]
                  * 则说明:
                  * &&&&-------&&&&+
                  * &&&&表示i-1长度字符串中左右端覆盖的字符，如果-与+不等，则说明
                  * 继续向右移动index也没用，只能在&&&&内部寻找更短的自我覆盖，由于
                  * i-1长度的左右端已经自我覆盖，所以overlay_func[index]可以找出
                  * 左/右端内部的覆盖
                  * */
                 while(index>= && pattern[i]!=pattern[index+])
                         index=overlay_func[index];
 
                 if(pattern[i]==pattern[index+])
                         overlay_func[i]=index+;
                 else
                         /**
                          * 如果index小于0并且i和index+1位置的字符不等，则说
                          * 明自我覆盖度为-1
                          * */
                         overlay_func[i]=-;
 
         }
 
         for(int i=;i<pat_len;i++)
                 printf("%d, ",overlay_func[i]);
         return overlay_func;
 }
 
 int kmp_func(const char *target, int tar_len, const char *pattern, int pat_len) {
 
         /**
          * 首先针对pattern字符串进行自我覆盖度的计算，once for all。
          * */
         int *overlay_func=ComputeOverlay(pattern, pat_len);
 
         int pat_index=;
         int tar_index=;
 
         /**
          * 从左向右遍历target
          * */
         while(pat_index<pat_len && tar_index<tar_len) {
                 if(target[tar_index]==pattern[pat_index]) {
                         /**
                          * 如果target和pattern上对应位置的字符相等
                          * 则两个索引都向右移动一位
                          * */
                         tar_index++;
                         pat_index++;
                 } else if(pat_index==)
                         /**
                          * 如果pattern的索引在第一位，说明第一个字符就
                          * 不等，所以直接向右移动target上的索引
                          * */
                         tar_index++;
                 else
                         /**
                          * 如果pattern的索引不在第一位，说明pat_index-1
                          * 索引位置之前的字符匹配，则利用KMP的规则，不用将
                          * tar_index回移，而是直接将pat_index进行移动，其
                          * 的滑动窗口直接移动在其右端的自我覆盖部分，从而避免
                          * 中间不必要的匹配循环
                          * */ pat_index=overlay_func[pat_index-]+;
         }
 
         /**
          * 如果pat_index已经在末尾了，说明在target上成功匹配pattern
          * ，此时tar_index-pat_index就是主串上模式串的起始位置
          * */
         if(pat_index==pat_len) {
                 delete [] overlay_func;
                 return tar_index-pat_index;
         }
         else {
                 delete [] overlay_func;
                 return -;
         }
 }
 
 int main() {
         char *target="annbcdanacadsannannanna";
         char *pattern="annanna";
         printf("\n%d",kmp_func(target, , pattern, ));
         return ;
 }

参考链接：
http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm
http://www.matrix67.com/blog/archives/115
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6111565