06-看图理解数据结构与算法系列(AVL树)

AVL树

AVL树，也称平衡二叉搜索树，AVL是其发明者姓名简写。AVL树属于树的一种，而且它也是一棵二叉搜索树，不同的是他通过一定机制能保证二叉搜索树的平衡，平衡的二叉搜索树的查询效率更高。

AVL树特点

• AVL树是一棵二叉搜索树。
• AVL树的左右子节点也是AVL树。
• AVL树拥有二叉搜索树的所有基本特点。
• 每个节点的左右子节点的高度之差的绝对值最多为1，即平衡因子为范围为[-1,1]。

图中红色数字表示对应节点的高度，可以看到同一层的节点高度差都没有超过1。

二叉搜索树的平衡

基础的二叉搜索树构建出来可能会存在不平衡的现象，比如极端情况下，按照A B C D E F G H顺序插入树中，结果为，

但实际上我们更想要平衡一点的二叉搜索树，因为平衡的二叉搜索树能有效提高查询效率，比如上面的要查询“H”节点则需要比较8个节点才找到，而平衡的二叉搜索树只需要比较3个节点。

所以AVL树的出现就是为了解决平衡性问题，它的核心内容就是平衡处理机制，即所谓的旋转，一共有四种形式的旋转：右单旋、左单旋、左右双旋和右左双旋。

为什么要旋转

不管是什么方式的旋转，旋转的目的是为了降低树的高度，使其平衡，假如树结构如下图，

将“A”节点添加到树中，变成如下结构，树产生了不平衡，于是检查哪里不平衡，当到“C”节点时发现高度差超过1，

所以需要对“C”节点进行右单旋操作将高度降到2，达到平衡。

插入方式

AVL树一共有四种插入方式，根据插入方式不同需要做不同的旋转操作，现在往下看四种插入方式，设受插入节点影响而失去平衡的节点的父节点为Z，

• LL插入方式，插入的节点在Z节点的左子树的左子树上，如下图，“A”节点插入影响“C”节点的平衡，“C”的父节点为“E”，插入节点“A”在“E”节点的左子树的左子树上。即“B”节点的左右子节点都算LL插入。

• RR插入方式，插入的节点在Z节点的右子树的右子树上，如下图，“I”节点插入影响“G”节点的平衡，“G”的父节点为“E”，插入节点“I”在“E”节点的右子树的右子树上。即“H”节点的左右子节点都算RR插入。

• LR插入方式，插入的节点在Z节点的左子树的右子树上，如下图，“C”节点插入影响“B”节点的平衡，“B”的父节点为“E”，插入节点“C”在“E”节点的左子树的右子树上。即“D”节点的左右子节点都算LR插入。

• RL插入方式，插入的节点在Z节点的右子树的左子树上，如下图，“G”节点插入影响“H”节点的平衡，“H”的父节点为“E”，插入节点“G”在“E”节点的右子树的左子树上。即“F”节点的左右子节点都算RL插入。

右单旋

右单旋用于处理LL插入方式，假设存在一棵树，如下，

现插入“A”节点，假如不进行旋转的话，树结构为下图，所以遍历过程也会检查哪里不平衡，检查到“C”节点和“G”节点的高度差大于1，而且插入节点“A”属于“E”节点左子树的左子树，于是进行右单旋，

“C”节点右单旋即将“C”节点提高，原本它的父节点“E”则变为其右子节点，“C”节点原来的右子节点则变为其父节点“E”的左子节点。右单旋后的结果如下，重新达到了平衡。

左单旋

左单旋用于处理RR插入方式，假设存在一棵树，如下，

现插入“I”节点，假如不进行旋转的话，树结构为下图，所以遍历过程也会检查哪里不平衡，检查到“C”节点和“G”节点的高度差大于1，而且插入节点“I”属于“E”节点的右子树的右子树，于是进行左单旋，

“G”节点左单旋即将“G”节点提高，原本它的父节点“E”则变为其左子节点，“G”节点原来的左子节点则变为其父节点“E”的右子节点。左单旋后的结果如下，重新达到了平衡。

左右双旋

左右双旋用于处理LR插入方式，假设存在一棵树，如下，

现插入“C”节点，假如不进行旋转的话，树结构为下图，遍历过程会检查哪里不平衡，检查到“B”节点和“G”节点的高度差大于1，而且插入节点“C”属于“E”节点的左子树的右子树，于是进行左右双旋，

先以“D”节点为轴进行左单旋，结果为，

再以“D”节点为轴进行右单旋，得到最终结果，

右左双旋

右左双旋用于处理RL插入方式，假设存在一棵树，如下，

现插入“G”节点，假如不进行旋转的话，树结构为下图，遍历过程会检查哪里不平衡，检查到“C”节点和“H”节点的高度差大于1，而且插入节点“G”属于“E”节点的右子树的左子树，于是进行右左双旋，

先以“F”节点为轴进行右单旋，结果为，

再以“F”节点为轴进行左单旋，得到最终结果，

插入

空树时插入节点“E”直接作为根节点，“E”节点高度设为1，

继续插入“B”节点，小于“E”节点则添加到左边，且“E”节点高度加1，

继续插入“G”节点，大于“E”节点则添加到右边，此时“E”节点高度不变，

继续插入“D”节点，最终到“B”节点的右子节点，此时“B”节点高度加1，“E”节点高度也加1，

继续插入“C”节点，最终到“D”节点的左子节点，此时“D”、“B”、“E”节点高度都分别加1，并且先发现节点“D”与它同级节点（不存在即高度为0）高度差大于1，并且属于RL插入方式，使用右左双旋处理，

以“C”节点为轴进行右单旋，结果为，

再以“C”节点为轴进行左单旋，结果如下，可以看到进过右左双旋操作后二叉树已经达到平衡了。

总结，插入时可能会遇到四种不同的插入方式，分别是：LL插入方式、RR插入方式、LR和RL插入方式。根据不同的插入方式对应做旋转操作即能使树达到平衡状态。

查找

AVL树因为属于二叉搜索树，所以查找时与BST树完全一样，比如下面这棵树，查找“D”节点，

从根节点“C”开始，

“D”大于“C”，所以往右继续查找，

“D”小于“E”，所以往左查找，找到。

删除

删除操作主要分两种情况，一种是删除后不会影响平衡，那么直接按照BST树规则删除。另外一种是删除后会影响树的平衡，那么则需要再做旋转处理。

情况一

如树的结构，要删除“B”节点，

直接找到“B”节点，且因为是叶子节点，直接删掉即可。

最终为，

但如果删除的不是“B”节点，而是“C”节点，则不能直接删除“C”节点，

应该先找到“C”节点的前驱，它的前驱为“B”节点，使用“B”替换“C”节点，

最后将原来的“B”节点删除。

情况二

如树的结构，要删除“F”节点，

先找到“F”节点，

然后将“F”节点删除，此时导致了“C”节点和“G”节点的高度差超过1，需要做旋转操作，

而且因为C节点的左子节点高度比右子节点高度大，所以执行右单旋操作，旋转后为，

作者：超人汪小建
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来源：掘金
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