P2120 [ZJOI2007]仓库建设 斜率优化dp
好题,这题是我理解的第一道斜率优化dp,自然要写一发题解。首先我们要写出普通的表达式,然后先用前缀和优化。然后呢?我们观察发现,x【i】是递增,而我们发现的斜率也是需要是递增的,然后就维护一个单调递增就行了。
放一个证明题解。
设f[i]表示在i点建仓库的最小费用,易得方程:
f[i]=min(f[j]+(x[i]-x[j+1])*p[j+1]+(x[i]-x[j+1])*p[j+2]...)
=min(f[j]+c[i]+x[i]*(p[j+1..i])-(x[j+1]*p[j+1]+...+x[i]*p[i]))
设s[i]=p[1]+p[2]+..p[i],ss[i]=x[1]*p[1]+...x[i]*p[i]
f[i]=f[j]+c[i]+x[i]*(s[i]-s[j])-(ss[i]-ss[j])
设j<k即s[j]<s[k],当取k更优时满足:
f[j]+x[i]*(s[i]-s[j])+ss[j]>f[k]+x[i]*(s[i]-s[k])+ss[k]
x[i]>(f[k]-f[j]+ss[k]-ss[j])/(s[k]-s[j])
设x<y<z,cale(i,j)表示i、j间的斜率
若cale(x,y)>cale(y,z)
1.x[i]>cale(x,y)>cale(y,z)则z更优
2.x[i]<cale(x,y),则x更优
因为x[i]递增,情况1保持不变,情况2可能会变成情况1还是不可能取y
综上当cale(x,y)>cale(y,z)时可以踢掉y,即维护斜率递增
题干:
题目背景 小B的班级数学学到多项式乘法了,于是小B给大家出了个问题:用编程序来解决多项式乘法的问题。
题目描述 L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。 工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。 突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。 由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。 对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。 假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据: 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=);
工厂i目前已有成品数量Pi;
在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。
输入输出格式
输入格式: 第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。 输出格式: 仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define duke(i,a,n) for(register int i = a;i <= n;i++)
#define lv(i,a,n) for(register int i = a;i >= n;i--)
#define clean(a) memset(a,0,sizeof(a))
const int INF = << ;
typedef long long ll;
typedef double db;
template <class T>
void read(T &x)
{
char c;
bool op = ;
while(c = getchar(), c < '' || c > '')
if(c == '-') op = ;
x = c - '';
while(c = getchar(), c >= '' && c <= '')
x = x * + c - '';
if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x)
{
if(x < ) putchar('-'), x = -x;
if(x >= ) write(x / );
putchar('' + x % );
}
const int N = 1e6 + ;
int n,m,x[N],q[N],c[N];
ll f[N],ss[N],s[N];
db calc(int j,int k)
{
return (f[k] - f[j] + ss[k] - ss[j]) * 1.0 / (s[k] - s[j]);
}
int main()
{
read(n);
duke(i,,n)
{
read(x[i]);read(s[i]);read(c[i]);
ss[i] = ss[i - ] + x[i] * s[i];
s[i] += s[i - ];
}
for(int i = ,l = ,r = ;i <= n;i++)
{
while(l < r && x[i] > calc(q[l],q[l + ])) l++;
f[i] = f[q[l]] + c[i] - ss[i] + ss[q[l]] + x[i] * (s[i] - s[q[l]]);
while(l < r && calc(q[r - ],q[r]) > calc(q[r],i)) r--;
q[++r] = i;
}
printf("%lld\n",f[n]);
return ;
}
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