Codeforces 871D Paths (欧拉函数 + 结论)
题目链接 Round #440 Div 1 Problem D
题意 把每个数看成一个点,如果$gcd(x, y) \neq 1$,则在$x$和$y$之间连一条长度为$1$的无向边。
设$d(u, v)$为$u$到$v$之间的最短路,如果$u$和v不连通那么$d(u, v) = 0$
现在给定$n$,求所有的满足$1 <= u < v <= n$的$d(u, v)$之和。
首先把$1$和大于$\frac{n}{2}$的质数去掉,这些数和任何数之间的最短距离为$0$。
我们可以得出对于任意$u$, $v$,都有$d(u, v) <= 3$
若$u$和$v$非互素,那么$d(u, v) = 1$;
令$p(x)$为$x$的最小质因子。如果$p(u) \cdot p(v) <= n$,那么$d(u, v) = 2$
路径为$u - p(u) \cdot p(v) - v$
否则一定存在一条长度为3的路径:$u - 2u - 2v - v$
那么只要求出这三种路径的条数就可以了。
对于长度为$1$的路径,利用欧拉函数可以轻松求出。
对于长度为$2$的路径,设$c[x]$为$p[u] = x$的$u$的个数,$s[]$为$c[]$的前缀和。
那么长度为$2$的路径条数为$∑c_{i} * s_{[\frac{n}{i}]}$,注意去掉长度为$1$的情况。
最后长度为$3$的路径条数就是总的合法点对数减去长度为$1$的路径和长度为$2$的路径条数。
时间复杂度$O(nlogn)$
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define rep(i, a, b) for (int i(a); i <= (b); ++i)
#define dec(i, a, b) for (int i(a); i >= (b); --i)
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second typedef long long LL; const int N = 1e7 + 10; int pri[N], p[N], phi[N], c[N], s[N];
int n, m, tot, now;
LL s1, s2, s3; int main(){ scanf("%d", &n);
phi[1] = 1;
rep(i, 2, n){
if (!p[i]){
p[i] = pri[++tot] = i;
phi[i] = i - 1; } rep(j, 1, tot){
if (i * pri[j] > n) break;
p[i * pri[j]] = pri[j];
if (i % pri[j] == 0){
phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
break;
}
else phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
}
} rep(i, 2, n) s1 += 0ll + i - 1 - phi[i];
rep(i, 2, n) ++c[p[i]];
rep(i, 2, n) s[i] = s[i - 1] + c[i];
rep(i, 2, n) s2 += 1ll * c[i] * s[n / i];
rep(i, 2, n) if (1ll * p[i] * p[i] <= n) --s2; s2 /= 2;
s2 -= s1;
m = n - 1;
dec(i, tot, 1){
if (pri[i] * 2 > n) --m;
else break;
} s3 = 1ll * m * (m - 1) / 2 - s1 - s2;
printf("%lld\n", s1 + 2 * s2 + 3 * s3);
return 0;
}
Codeforces 871D Paths (欧拉函数 + 结论)的更多相关文章
- Codeforces 1114F(欧拉函数、线段树)
AC通道 要点 欧拉函数对于素数有一些性质,考虑将输入数据唯一分解后进行素数下的处理. 对于素数\(p\)有:\(\phi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)=p^k*\frac{p-1}{p}\) ...
- Codeforces 1114F Please, another Queries on Array? [线段树,欧拉函数]
Codeforces 洛谷:咕咕咕 CF少有的大数据结构题. 思路 考虑一些欧拉函数的性质: \[ \varphi(p)=p-1\\ \varphi(p^k)=p^{k-1}\times (p-1)= ...
- Codeforces Round #538 (Div. 2) F 欧拉函数 + 区间修改线段树
https://codeforces.com/contest/1114/problem/F 欧拉函数 + 区间更新线段树 题意 对一个序列(n<=4e5,a[i]<=300)两种操作: 1 ...
- Codeforces 776E: The Holmes Children (数论 欧拉函数)
题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然 ...
- CodeForces - 645F:Cowslip Collections (组合数&&欧拉函数)
In an attempt to make peace with the Mischievious Mess Makers, Bessie and Farmer John are planning t ...
- Codeforces 906D Power Tower(欧拉函数 + 欧拉公式)
题目链接 Power Tower 题意 给定一个序列,每次给定$l, r$ 求$w_{l}^{w_{l+1}^{w_{l+2}^{...^{w_{r}}}}}$ 对m取模的值 根据这个公式 每次 ...
- Please, another Queries on Array?(Codeforces Round #538 (Div. 2)F+线段树+欧拉函数+bitset)
题目链接 传送门 题面 思路 设\(x=\prod\limits_{i=l}^{r}a_i\)=\(\prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{c_i}\) 由欧拉函数是积性函数得: \[ ...
- codeforces 1009D Relatively Prime Graph【欧拉函数】
题目:戳这里 题意:要求构成有n个点,m条边的无向图,满足每条边上的两点互质. 解题思路: 显然1~n这n个点能构成边的条数,就是2~n欧拉函数之和(x的欧拉函数值代表小于x且与x互质的数的个数. 因 ...
- 欧拉函数 &【POJ 2478】欧拉筛法
通式: $\phi(x)=x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n})$ 若n是质数p的k ...
随机推荐
- 百度webuploader上传 1
百度webupload网址:http://fex.baidu.com/webuploader/ 引入js和css <script src="../../Content/webuploa ...
- ROS 常用
可以通过以下命令查看环境变量: export | grep ROS 安装 sudo apt-get install XXX 卸载 dpkg --list //Debian package sudo a ...
- 聊聊、Mybatis Java注解实现
AbstractAnnotationConfigDispatcherServletInitializer public class MvcInitializer extends AbstractAnn ...
- NodeJs06 高并发
高并发架构 在业务的最初期,由于业务和用户的体量比较小,可能采用单机就足够了.随着业务的增长,用户量和并发请求量都会不断上升.当增长到一定的瓶颈的时候,系统能否抗住压力,就需要采取一些方案了.这就是著 ...
- 软工实践 - 第十七次作业 Alpha 冲刺 (8/10)
队名:起床一起肝活队 组长博客:https://www.cnblogs.com/dawnduck/articles/10023469.html 作业博客:班级博客本次作业的链接 组员情况 组员1(队长 ...
- oracle存储过程粗解
存储过程创建的语法: create or replace procedure 存储过程名(param1 in type,param2 out type) as 变量1 类型(值范围);变量2 类型(值 ...
- 第十五篇:jQuery
本篇内容 简介 使用 一. 简介 jQuery 是一个 JavaScript 库. jQuery 极大地简化了 JavaScript 编程. jQuery 很容易学习. jQuery 库可以通过一行简 ...
- Eclipse中一个Maven工程的目录结构 (MacOS)
1. 为什么写这篇文章 在之前的javaSE开发中,没有很关注Eclipse工程目录下的环境,总是看见一个src就点进去新建一个包再写一个class.以后的日子中也没有机会注意到一个工程到底是怎么组织 ...
- [USACO06NOV]玉米田Corn Fields (状压$dp$)
题目链接 Solution 状压 \(dp\) . \(f[i][j][k]\) 代表前 \(i\) 列中 , 已经安置 \(j\) 块草皮,且最后一位状态为 \(k\) . 同时多记录一个每一列中的 ...
- 从日升的mecha anime看mecha genre的衰退
注:矢立肇是日升企画部集体笔名,如勇者系列便是公司企画 这里列出一些我看过认为有意思的动画,大抵同系列的就合并了,除非后续作品(剧场版,OVA,etc)并非直接剧情承接且有趣 注意我对长篇TV动画评价 ...