题目大意:有$2^n$个人,每相邻的两个人比赛一次。令两个人的编号为$a,b(a\leqslant b)$,若$a\neq 1$,则$a$的人获胜;否则若$b\in S$则$b$获胜,不然$1$获胜。钦定$1$获胜,问可以的开始的顺序的方案数

题解:状压$DP$,令开始的第$i$位的人的编号为$p_i$,发现到只有$\min\limits_{i\in[2^{j-1}+1,2^j]}\{p_i\}(1\leqslant j\leqslant n)$的人会和$1$打,考虑容斥,令$f_{i,j}$为到了要放$S$中的第$i$个人,现在第$k$个段($[2^{k-1}+1,2^k]$)中的最小值在$S$中的状态为$1<<k \& j$,时可以战胜$1$的方案数。(发现一个很优美的东西,$j==已经放置的人数$)

卡点:

C++ Code:

  1. #include <cstdio>
  2. #define N 1 << 16 | 3
  3. const int mod = 1000000007;
  4. int n, m, s[20];
  5. long long fac[N], inv[N];
  6. long long f[17][N], ans, U;
  7. void update(long long &x, long long y) {if ((x += y) >= mod) x -= mod;}
  8. long long C(long long a, long long b) {
  9. if (a < b) return 0;
  10. return fac[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod;
  11. }
  12. int main () {
  13. scanf("%d%d", &n, &m); U = 1 << n;
  14. for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", s + m - i);
  15. fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
  16. for (int i = 2; i < U; i++) {
  17. fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
  18. inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
  19. }
  20. for (int i = 2; i < U; i++) inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % mod;
  21. f[0][0] = 1;
  22. for (int i = 0; i < m; i++) {
  23. for (int j = 0; j < U; j++) {
  24. update(f[i + 1][j], f[i][j]);
  25. for (int k = 0; k < n; k++) {
  26. if (!(j & (1 << k))) update(f[i + 1][j | 1 << k], f[i][j] * fac[1 << k] % mod * C(U - j - s[i], (1 << k) - 1) % mod);
  27. }
  28. }
  29. }
  30. for (int i = 0; i < U; i++) {
  31. long long tmp = f[m][i] * fac[U - i - 1] % mod;
  32. update(ans, __builtin_parity(i) ? (mod - tmp) : tmp);
  33. }
  34. printf("%lld\n", ans * U % mod);
  35. return 0;
  36. }

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