约数定理(two)
筛约数个数和
理论基础:
1、对n质因数分解,n=p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 ……
则n的约数个数为(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)……
2、线性筛素数时,用i和素数pj来筛掉 i*pj,
其中pj一定是i*pj的最小素因子
如果i是pj的倍数,pj也是i的最小素因子
设t[i] 表示i的约数个数,e[i] 表示i的最小素因子的个数
A、如果i是质数,t[i]=2,e[i]=1
B、如果i不是质数,枚举已有的质数pj
i*pj的最小素因子是pj
1、如果i是pj的倍数那么e[i]即为i中包含的pj的个数,所以i*pj中包含的pj的个数为e[i]+1
所以e[i*pj]=e[i]+1,t[i*pj]=t[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2)
2、如果i不是pj的倍数,e[i*pj]=1,t[i*pj]=t[i]*t[pj](积性函数的性质)=t[i]*2(素数的约数个数=2)
#include<cstdio> using namespace std; #define N 1000001 bool vis[N];
int prime[N]; int t[N],e[N]; int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
int cnt=;
t[]=;
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
t[i]=;
e[i]=;
}
for(int j=;j<=cnt;++j)
{
if(i*prime[j]>n) break;
vis[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==)
{
t[i*prime[j]]=t[i]/(e[i]+)*(e[i]+);
e[i*prime[j]]=e[i]+;
break;
}
else
{
t[i*prime[j]]=t[i]*;
e[i*prime[j]]=;
}
}
}
long long ans=;
for(int i=;i<=n;++i) ans+=t[i];
printf("%lld",ans);
}
筛约数和
t[i] 表示i的约数和
e[i] 表示i的约数中,不能被i的最小素因子整除的约数和
A、i是质数,t[i]=i+1,e[i]=1
B、i不是质数
i*pj的最小素因子是pj
1、如果i不是pj的倍数,那么i的所有约数中,必然没有pj的倍数
可以用反证法证明这个:设x是i的约数,且x是pj的倍数,
那么 x=pj*b,i=x*a=pj*b*a
即i是pj的b*a倍,与i不是pj的倍数相矛盾
令S表示i的约数集,S’表示i的约数翻pj倍后的数的集合
则S∩S’=∅,则S和S’中无重复元素
所以t[i*pj]=S+S'=t[i]+t[i]*pj=t[i]*(pj+1)
S’中的所有元素都能整除pj,所以e[i*pj]=t[i]
2、如果i是pj的倍数,那么S和S’必有交集T
T=S中pj的倍数
所以i*pj的约数和要去除交集T
那么t[i*pj]=S+S'-T=S'+S-T=t[i]*pj+e[i]
因为pj既是i的最小素因子,有事i*pj的最小素因子
所以e[i*pj]=e[i]
#include<cstdio> typedef long long LL; #define N 100001 int prime[N];
bool vis[N]; LL t[N],e[N]; int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
int cnt=;
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
t[i]=i+;
e[i]=;
}
for(int j=;j<=cnt;++j)
{
if(prime[j]*i>n) break;
vis[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==)
{
t[i*prime[j]]=t[i]*prime[j]+e[i];
e[i*prime[j]]=e[i];
break;
}
t[i*prime[j]]=t[i]*(prime[j]+);
e[i*prime[j]]=t[i];
}
}
LL ans=;
for(int i=;i<=n;++i) ans+=t[i];
printf("%lld",ans);
}
参考博客:
百度百科
https://blog.csdn.net/Anxdada/article/details/76691441
http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/
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