51nod1820 长城之旅
题目描述
BB
痛失一血(打了场Comet OJ回来就没了)
不过后来又刷了一道水题
题解
LCM+取模=结论题
结论1
\(gcd(k^{2^i}+1,k^{2^j}+1)=1 (i\neq j 且k为偶数)\)
证明:
设i<j
若存在\(q\mid k^{2^i}+1\),则\(k^{2^i}\equiv -1(mod \;q)\)
那么\(k^{2^{i+k}}\equiv 1(mod \;q)\)(k>0),则\(k^{2^j} \equiv 1(mod \;q)\),\(k^{2^j}+1 \equiv 2(mod \;q)\)
update:注意上面的k,此k非彼k
当q>2时无解,当q=2时由于k为偶数,所以k的幂+1为奇数,不存在为2的因子(即无解)
所以gcd=1
结论2
\(gcd(k^{2^i}+1,k^{2^j}+1)=2 (i\neq j 且k为奇数)\)
证明:
同上,可以发现只存在q=2的公因数
乱搞
简单又自然
先特判掉模数为2
①K不是P的倍数
如果K不是P的倍数,那么把式子拆开后变成
\(ans=\sum_{i=0}^{2^{r-l+1}-1}{({k^{2^l}})^i}\)
设\(a={k^{2^l}}\),则\(ans=\sum_{i=0}^{2^{r-l+1}-1}{a^i}\)
2l和\(2^r\)可以快速幂求,因为a0=ap-1 mod p=1,可以发现模数实际上是(P-1)
剩下的就是一个等比数列求和
因为K不是P的倍数且P为质数,所以\(k^{2^{i}}\)必定不为0,\(k^{2^{i}}-1\)(等比数列求和的分母)不会为-1
但是\(k^{2^{i}}\)可能为1,这样的话\(ans=2^{r-l+1}\)
②K是P的倍数
显然ans=1
如果K为奇数,那么就还要除掉多出来的的2R-L
code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
using namespace std;
long long K,L,R,mod,Mod,S,ans;
int Q,i,j,k,l;
long long qpower(long long a,long long b)
{
long long ans=1;
while (b)
{
if (b&1)
ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
void js()
{
long long s1,s2,S1,S2;
--mod;
s1=qpower(2,R+1);
s2=qpower(2,L);
s1-=s2;
if (s1<0)
s1+=mod;
++mod;
S1=qpower(K,s1);
S2=qpower(K,s2);
if (S2>1)
ans=(S1*S2%mod-1)*qpower(S2-1,Mod)%mod;
else
ans=qpower(2,R-L+1);
if (ans<0)
ans+=mod;
}
int main()
{
// freopen("51nod_1820_4_in.txt","r",stdin);
// freopen("51nod1820.in","r",stdin);
// freopen("51nod1820.out","w",stdout);
scanf("%d",&Q);
for (;Q;--Q)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&K,&L,&R,&mod);
Mod=mod-2;
if (mod==2)
{
if (K&1)
printf("0\n");
else
printf("1\n");
continue;
}
if (!(K%mod))
ans=1;
else
{
ans=0;
js();
}
if (K&1)
ans=ans*qpower((mod+1)/2,R-L)%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
}
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