单调队列的练习题解

前言:

在上一篇学习记录中,单调队列给出了几道练习题,因为这两道题的算法以及思路相差无几(几乎可以算是双倍经验quq),所以就在这里集中写一下相关的题解

前置知识:

见:队列专题(queue、priority_queue、deque) qvq


切蛋糕:

洛谷P1714

  • 题目简述:

    给定n个元素的值Pi,窗口最大限度m,要求找出连续k(0<=k<=m)个元素,使得这些元素和最大,输出这个最大值

  • 数据范围:

    对100%的数据,M≤N≤500000,|Pi|≤500。 答案保证在2^31-1之内

  • 算法:

    单调队列deque&前缀和

  • 解题思路:

(1)看到求连续一段区间最大值问题,便想到了用前缀和来维护,再循环模拟k的取值,然后每次用ans来比较取最大值

(2)打出纯前缀和代码,会得到40pts,其它意料之中的T掉,说明肯定还有其他算法

(3)我们需要维护长度为k的最大前缀和,所以想到了使用单调队列(好勉强啊...说实话不看算法标签我肯定想不到)

(4)单调队列的实现:当队尾存储的前缀和大于当前前缀和时,将当前前缀和存入队列中(因为计算前缀和需要减去前面的,不好理解可以看代码),再判断当前队首元素是否在窗口限度以内,最后用ans比较存储最大值再输出即可

  • 代码Code:

(1)40pts的纯前缀和代码:

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. int n,m,ans,a[1000001],sum[1000001];
  4. int main() {
  5. scanf("%d%d",&n,&m);
  6. for(register int i=1;i<=n;i++) {
  7. scanf("%d",&a[i]);
  8. sum[i]=sum[i-1]+a[i];
  9. }
  10. for(register int k=1;k<=m;k++) {
  11. for(register int i=k;i<=n;i++) {
  12. ans=max(ans,sum[i]-sum[i-k]);
  13. }
  14. }
  15. printf("%d",ans);
  16. return 0;
  17. }

(2)AC的前缀和+单调队列代码:

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. int n,m,ans,a[5000001],sum[5000001];
  4. deque<int> shan;
  5. int main() {
  6. scanf("%d%d",&n,&m);
  7. for(register int i=1;i<=n;i++) {
  8. scanf("%d",&a[i]);
  9. sum[i]=sum[i-1]+a[i];
  10. }
  11. for(register int i=1;i<=n;i++) {
  12. while(!shan.empty()&&sum[shan.back()]>sum[i]) shan.pop_back();
  13. shan.push_back(i);
  14. while(shan.front()<i-m) shan.pop_front();
  15. ans=max(ans,sum[i]-sum[shan.front()]);
  16. }
  17. printf("%d",ans);
  18. return 0;
  19. }

好消息,坏消息:

洛谷P2629

  • 题目简述:

    给定n个消息的好坏度Ai,要求找出所有满足在告诉Boss全部消息过程中老板心情一直不低于0的方案总数

  • 数据范围:

    对于100%数据n<=10^6,-1000 <= Ai <= 1000

  • 算法:

    前缀和&单调队列deque

  • 解题思路:

    (1)还是先暴力一发,能得到75pts,因为时间复杂度是O(n^2),所以考虑优化

(2)因为是区间,所以还要使用前缀和来维护区间最值

(3)但是这道题并不是单独的求某一区间的最值,而是要求某一区间内的前缀和都不小于0,所以我们会想到合并石子的思路破环为链

(4)开两倍数组,复制一遍前n个数,这样方便我们枚举所有情况,然后使用单调队列求出某一区间内的前缀和的最小值,再判断减去前面的前缀和后是否小于0,不是的话方案数++,于是我们就有了A掉这道题的满分思路

  • 代码Code:

(1)75pts的暴力前缀和:

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. int read(){
  4. int x=0,f=1;
  5. char ch=getchar();
  6. while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}//读取正负号
  7. while(ch>='0' && ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}//x<<3=x*8,x<<1=x*2,合起来便是x*10了
  8. return x*f;
  9. }
  10. int n;
  11. int a[2000005];
  12. int sum[2000005];
  13. bool check(int now) {
  14. for(register int j=0; j<n; j++) {
  15. if(sum[now+j]-sum[now-1]<0) return false;
  16. }
  17. return true;
  18. }
  19. int main() {
  20. n=read();
  21. // scanf("%d",&n);
  22. for(register int i=1; i<=n; i++) {
  23. a[i]=read();
  24. // scanf("%d",&a[i]);
  25. a[i+n]=a[i];
  26. sum[i]=sum[i-1]+a[i];
  27. }
  28. int tot=1;
  29. for(register int i=n+1; i<=2*n-1; i++) {
  30. sum[i]=sum[i-1]+a[tot];
  31. tot++;
  32. }
  33. int ans=0;
  34. for(register int i=1; i<=n; i++) {
  35. if(check(i)==true) ans++;
  36. }
  37. printf("%d",ans);
  38. return 0;
  39. }

(2)单调队列+前缀和的满分代码:

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. int n,ans,a[2000010],sum[2000010];
  4. deque<int> shan;
  5. int main() {
  6. scanf("%d",&n);
  7. for(register int i=1;i<=n;i++) {
  8. scanf("%d",&a[i]);
  9. a[i+n]=a[i]; //破环为链
  10. }
  11. for(register int i=1;i<2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i]; //记录前缀和
  12. for(register int i=1;i<2*n;i++) { //枚举
  13. while(!shan.empty()&&sum[shan.back()]>=sum[i]) shan.pop_back(); //deque来维护前缀和最小值
  14. shan.push_back(i);
  15. if(i>=n) {
  16. while(!shan.empty()&&shan.front()<i-n) shan.pop_front(); //处理队首元素超过窗口最大限度的情况(本题窗口限度就是n)
  17. if(sum[shan.front()]>=sum[i-n]) ans++; //如果满足条件,方案数++
  18. }
  19. }
  20. printf("%d",ans);
  21. return 0;
  22. }

吐槽一下:我真的是炒鸡炒鸡蒻啊啊啊啊!!!第二个做法的代码里面前缀和只记录了前n个数的前缀和(晕)...结果...结果...调了半个多小时求助旁边的WS大佬才发现(我去QAQ)

再来一发WS大佬的题解:好消息,坏消息


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