一个小证明（题解 P5425 Part1）

所以这道题为什么可以这样做

嗯，我也不知道，不过我是来填坑的。
\(Q\)：为什么要把牛分成\(1\),\(1\)......\(N-K+1\)这样的\(K\)组呢？
\(A\):我们设第\(i\)组分到\(n_i\)头牛，当然我们知道共有\(\dfrac{N(N-1)}{2}\)条可连的边，保证被吃掉的边最多即可。
显然，被吃掉的边数为
\(\sum\limits_{i=1}^K \dfrac{n_i(n_i-1)}{2}= \dfrac {\sum\limits_{i=1}^K n_i^2-\sum\limits_{i=1}^K n_i}{2}=\dfrac {\sum\limits_{i=1}^K n_i^2-N}{2}\)

是\(\sum\limits_{i=1}^K n_i^2\)决定着大小。

又因为
\(\sum\limits_{i=1}^K n_i^2 =\)（\(\sum\limits_{i=1}^K n_i\)）\(^2\)\(-2\sum\limits_{i=1}^K\sum\limits_{j=1}^K(i!=j)n_in_j\)

那我们应保证\(2\sum\limits_{i=1}^K\sum\limits_{j=1}^K(i!=j)n_in_j\)最小，回想一个小学的结论，相同的周长的矩形中，正方形的面积最大，即长宽相差越大，面积越小，正可以推广到这里。

得证。