BCH code

简单介绍

若循环码的生成多项式具有如下形式\(g(x)=LCM[m_{1}(x),m_{3}(x)..m_{2t-1}(x)]\)

其中LCM表示最小公倍式，t为纠错个数，\(m_{i}(x)\)为素多项式，则由此生成的循环码称为BCH码，其最小码距\(d\ge d_{0}=2t+1\)，其中\(d_{0}\)为设计码距，则这个码能纠正t个随机独立差错。

举个例子来有个先验感知:BCH(15,5)码，可纠正3个随机独立差错(t=3)，求它的生成多项式。

码距应该为\(d\ge d_{0}=2*3+1=7\)

n=15，根据\(n=2^{m}-1\)，得出m等于4；查下表不可约多项式可知:

阶数	编号	多项式(二进制表示)
2	1	111
3	1	1101
4	1 3 5	010011 011111 000111
5	1 3 5	100101 111101 110111

于是就有了\(m_{1}(x)=x^{4}+x+1\),\(m_{3}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\),\(m_{5}(x)=x^{2}+x+1\)

这样就得出：

\(g(x)=LCM[m_{1}(x),m_{3}(x),m_{5}(x)]=x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1\)

基本知识

BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码，是迄今为止所发现的一类很好的线性纠错码类。它的纠错能力很强，特别在短和中等码长下，其性能接近于理论值，并且构造方便，编码简单。特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。

BCH码是循环码的一个子类，他的纠错能力是通过：先声明期望码能纠错随机错误的的个数，然后再构造这样的码生成多项式。

如果一个域F仅具有有限多个元素，比如仅有q个元素，这样的域称为有限域或称之为伽罗瓦域，记为GF(q)。

\(GF(2^{m})\)的构成

可以将\(GF(p)\)延伸为一个含有\(p^{m}\)个元素的域，称为GF(p)的扩展域，表示为\(GF(p^{m})\)

由这个我们就可以知道二进制域\(GF(2)\)是扩展域\(GF(2^{m})\)的一个子域，类似于实数域是复数域的一个子域一样。除了数字0和1之外，在扩展域中还可以用a来表示特殊元素，\(GF(2^{m})\)中任何非0元素都可由a的幂次表示。这样\(GF(2^{m})\)的元素可表示为\(GF(2^{m})={0,a^{0},a^{1},a^{2},.........a^{2^{m}-2}}\)

系数取自GF(2)上的(m-1)次多项式，即

\[a(\alpha)=a_{0}+a_{1}\alpha+...+a_{m-1}\alpha^{m-1}
\]

其中\(a_{i}\in GF(2)，i=0,1,2...m-1\)。这些多项式的总数正好等于\(2^{m}\)。我们希望能将这些数据作为\(GF(2^{m})\)上的元素，这些元素可以通过多项式或者是m维二元矢量进行表示。

举一个例子，m=4时，对于\(GF(2^{4})\)的16个元素可以如下表所示:

接下来引入\(GF(2^{m})\)中元素间的加法和乘法运算，系数之间的运算采用模2运算。

先来看加法

\(m(\alpha)=1+\alpha+\alpha^{3}\)---->1101

\(n(\alpha)=1+\alpha^{2}​\)----------->1010

则\(m(\alpha)+n(\alpha)=(+\alpha+\alpha^{3})+(1+\alpha^{2})=\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{3}\)

------>0111

但是当我们在乘法的时候，就会有问题:

\(m(\alpha)*n(\alpha)=1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{5}\)

超过了最高次数项，必须把它简化为小于等于3的多项式。如何才能简化？可以通过令\(\alpha\)是某个4次多项式\(\pi(x)\)的根。在上述的例子里，我们可以令\(\alpha\)为\(\pi(x)=1+x+x^{4}\)的根，即\(\alpha^{4}=1+\alpha\)

从而

\[\begin{eqnarray}m(\alpha)*n(\alpha)&=&1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{5}\\&=&1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha(1+\alpha)\\&=&1 \end{eqnarray}
\]

即(1101)*(1010)=(1000).这样用多项式表示\(GF(2^{4})\)元素对于多项式乘法是封闭的。

我们总结一下，如果需要生成有限域\(GF(2^{m})\)，则\(\pi(x)\)必须是m次多项式。这里的\(\pi(x)\)必须是\(GF(2)\)上的既约多项式(\(\pi(x)\)在\(GF(2)\)上不能进一步因式分解，或者说\(\pi(x)\)没有次数小于m-1，系数在\(GF(2)\)上的多项式作为因式)

关于GF域有以下几个定理:

1.如果\(\pi(x)\)是\(GF(2)\)上次数等于m的既约多项式，则对\(GF(2)\)上每个次数小于m的多项式c(a)存在唯一的逆元:\(c^{-1}(a)\in GF(2^{m})\)

2.令\(\lambda\)为\(\sum_{i=1}^{t}1=0\)成立的最小整数t(这里的1为单位元素)，该\(\lambda\)称为有限域\(GF(q)\)的特征，该特征一定是质数。

循环码的定义和多项式表示

一个二元n维矢量\(v=(v_{0},v_{!},...,v_{n-1})\)，若把它的分量循环向右一位，则得到另一个n维矢量\(v^{(1)}=(v_{n-1},v_{0},v_{1},.....v_{n-2})\)，这里把\(v^{(1)}\)称为v的循环移位。

一个(n,k)线性码l，若它的每个码字矢量的循环移位也是该码的码字，则称l为循环码。我们可以把码字矢量\(v=(v_{0},v_{!},...,v_{n-1})\)看成是如下的多项式:

\[v(x)=v_{0}+v_{1}x+v_{2}x^{2}+....+v_{n-1}x^{n-1}=\sum_{j=0}^{n-1}v_{j}x^{j}
\]

其中系数\(v_{j}\in {0,1}\)，\(v_{j}x^{j}\)实际上只是表示这个矢量v的第j+1位分量是\(v_{j}\)，因此\(x^{j}\)是位置算子。

每个码字矢量与一个不高于n-1次的多项式对应，于是与\(v^{1}\)对应的多项式为:\(v^{1}(x)=v_{n-1}+v_{0}x+....+v_{n-2}x^{n-1}\)

观察\(v(x)\)与\(v^{1}(x)\)的关系可得:\(x*v(x)=v^{1}(x)+v_{n-1}(x^{n}+1)\)(二元计算中+1和-1是等价的，所以将-1换成了+1)；进一步我们可以总结出:\(v^{1}(x)\equiv x*v(x)mod(x^{n}+1)\)

意思是说\(v^{i}(x)\)等于x与v(x)的乘积后再除以\(x^{n}+1\)以后的余式。

假如我们现在有一个n-k循环码的生成多项式:\(g(x)=1+x^{2}+x^{4}\),则生成的(6,2)循环码的码字矢量和码字多项式如下:

消息矢量	码字矢量	码字多项式
\((u_{0}，u_{1})\)	\((v_{0},v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5})\)
(0,0)	(0,0,0,0,0,0)	\(v_{0}(x)=0*g(x)=0\)
(0,1)	(1,0,1,0,1,0)	\(v_{1}(x)=1*g(x)=g(x)\)
(1,0)	(0,1,0,1,0,1)	\(v_{2}(x)=x*g(x)=x+x^{3}+x^{5}\)
(1,1)	(1,1,1,1,1,1)	\(v_{3}(x)=(x+1)*g(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}\)

根据循环码的定义(循环移位后仍然是在这个循环码内的码字)知道，((000000),(01010101),(10101010),(111111))是循环码。消息矢量可以看成是代表的k位消息数据比特，在这个例子里是2.

给出一个定理:若g(x)是n-k次多项式，而且是\(x^{n}+1\)的因式，则g(x)生成一个(n,k)循环码。

有限域的本原多项式

一个多项式是本原多项式的充要条件:一个m阶的不可约多项式f(x)，如果f(x)整除\(x^{n}+1\)的最小正整数n满足\(n=2^{m}-1\)，则该多项式是本原的。

例如用本原多项式\(p(x)=1+x+x^{3}\)来构造GF(8)，设GF(8)上的本原元为a，通过将a的幂模p(a)得到GF(8)上的所有元素:

极小多项式

系数定义在基域\(GF(q)\)上且在扩展域\(GF(q^{m})\)上有根\(\beta _{j}\)的最小次数多项式称为\(\beta_{j}\)的极小多项式。

设\(b_{1},b_{2}...b_{p-1}\)为GF(p)上的非零域元素，则\(x^{p-1}+1=(x+b_{1})(x+b_{2})...(x+b_{p-1})\)

从上面的循环码知识我们知道，为了找到分组长度为n的循环码的生成多项式，首先分解\(x^{n}+1\)，因此\(x^{n}+1\)可以表示为多个因子的乘积，即\(x^{n}+1=f_{1}(x)f_{2}(x)....f_{w}(x)\)

在扩展域\(GF(p^{m})\)中，\(n=p^{m}-1\)

编码

对于一个分组长度\(n=p^{m}-1\)、确定可纠正t个错误的BCH码的生成多项式的步骤如下:

1.选取一个次数为m的素多项式并构造\(GF(p^{m})\)

2.求\(a^{i},i=0,1,2...n-2\)的极小多项式\(f_{i}(x)\)

3.可纠正t个错误的码的生成多项式为:

\[g(x)=LCM[(f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x).....f_{2t}(x)]
\]

d=2t+1称为码的设计距离，一旦确定了n和t，我们便可以确定BCH码的生成多项式。

表中第2列是第3列多项式的根。

然后用生成多项式，按照生成循环码的方式生成的就为BCH码。

实现

bch_n=15    # (n,k)中的n
bch_k=5     # (n,k)中的k
bch_c=bch_n-bch_k
g=[1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1]   # 这个要自己计算
def encode(origin_data):
    zero=[0]
    bb=[]
    bb.extend((bch_c)*zero)
    for i in range(bch_k):
        freeback=origin_data[i]^bb[0]
        if freeback!=0:
            for j in range(bch_c-1):
                if g[j]!=0:
                    bb[j]=bb[j+1]^freeback
                else:
                    bb[j]=bb[j+1]
            bb[bch_c-1]=g[bch_c-1]&freeback
        else:
            for j in range(bch_c-1):
                bb[j]=bb[j+1]
            bb[bch_c-1]=0
    return bb

def main():
    origin_data=[1,0,0,1,1]
    print("Word to be encoded:")
    print(origin_data)
    data=[]
    data=encode(origin_data)
    print("Encoded it is:")
    print(data)

main()