题意:

给出一个int型正整数N,要求把N分解成若干个质因子,如N=97532468,则把N分解成:97532468=2^2*11*17*101*1291。质因子按增序输出,如果某个质因子的幂是1,则1不输出。

思路:质因子分解的基础题。

首先,定义如下因子的结构体,用于存放最终的结果。因为N是一个int范围的正整数,由于2*3*5*7*11*13*17*19*23*29>INT_MAX,也就是说,任意一个int型整数,可分解出来的不同的质因子的个数不会超过10个,因此,数组只要开到10就够了。

struct Factor{
    int fac;//质因子
    int cnt;//质因子出现的次数
}factor[];

在对正整数N进行分解之前,首先要获取素数表,令其存在数组prime中,这样一来,则逐个判断这个prime数组中的素数,若整除,则一直用N除以当前这个素数,记录这个素数出现的次数,除到不能整除为止,再进入下一个素数的判断。

但是,如果我们要求N=2,147,483,647(INT_MAX)的质因子呢?难道需要求出所有整型的素数吗?这样做当然没有错,但却会超时(判断素数的时间复杂度是O(sqrt(N)),枚举获取1~N的全部素数的时间复杂度是O(N),因此总的时间复杂度是O(N*sqrt(N)),若N>10^5基本就超时了),事实上,对于质因子分解,需要明白这样一个事实——

对于任何一个整数,如果它是素数,则不可被分解,因子只有1和其本身;如果它是合数,则除了1和本身之外,它的因子必然是在sqrt(n)两侧成对出现的,此时,这些质因子要么全部小于等于sqrt(n);要么只存在一个质因子大于sqrt(n),而其他质因子全部小于等于sqrt(n)。基于此,我们考虑,int型的最大值是2,147,483,647,而sqrt(2,147,483,647)≈46,341,根据刚才所说的结论,也就是说一个int型整数若不能被46341以内的素数整除的话,说明因子就是其本身了。因此,我在获取素数表的getPrime()函数中直接硬编码了。

代码:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <vector>
using namespace std;

struct Factor{
    int fac;//质因子
    int cnt;//质因子出现的次数
}factor[];

vector<int> prime;//素数表

//判断素数
bool isPrime(int n)
{
    ) return false;
    int sqr=(int)sqrt(n);
    ;i<=sqr;i++)
        ) return false;
    return true;
}

//获取素数表,打表思想
void getPrime()
{
    ;i<;i++)
        if(isPrime(i)) prime.push_back(i);
}

int main()
{
    int val;
    scanf("%d",&val);
    getPrime();
    int temp=val;
    ;//factor数组的长度
    ;i<prime.size();i++){
        int p=prime[i];
        ){
            factor[len].fac=p;
            factor[len].cnt=;
            ){
                factor[len].cnt++;
                temp/=p;
            }
            len++;
            ) break;//表示除尽
        }
    }
    ){//考虑存在因子大于sqrt(n)的情况(有可能是素数,有可能不是素数,如9998=2*4999)
        factor[len].fac=temp;
        factor[len].cnt=;
        len++;
    }
    printf("%d=",val);
    ) printf(");
    ;i<len;i++){
        printf("%d",factor[i].fac);
        ) printf("^%d",factor[i].cnt);
        ) printf("*");
    }
    ;
}

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