额,前两天刚讲了数据结构,今天我来讲讲组合数学中的一种奇妙优化——Lucas

先看这样一个东西

没学过lucas的肯定会说:还不简单?处理逆元,边乘边膜呗

是,可以,但注意一下数据范围

你算这一次,你需要跑25000下

那么你如果求C199999 1~C199999 52222 呢?

你会发现你的复杂度上天了

所以我们会用到一个神奇的定理:Lucas定理

定理内容如下:
  Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

不好玩,是吗?

那么我来证明一下

由二项式定理可得,cmn等于(x+1)^m中n次项的系数

那么我们按Lucas展开

原式=(x+1)^(p^k*ak)*(x+1)^(p^(k-1)*a(k-1))*……*(x+1)^(p*a1)+(x+1)^(1*a0)

=[(x+1)^(p^k)]^ak……

由费马小定理可知,其%p后可转化为 (x+1)^ak*(x+1)^a(k-1)*……*(x+1)^a1*(x+1)^a0

原题转化为求上式的n次项的系数

同理,由于每一项已经消去了p^k次方 故即求每一项中的bk次项系数 即为Lucas

有什么用呢?

以前的组合数,我们一位一位地算(累死了)

现在的组合数,我们只用算%p出来的(这不就是log p m次吗?)

O(n)到O(logn)

大有长进啊

大家应该都会

下面看几道好题

combination【bzoj2928】

裸的板子,不说什么

《瞿葩的数字游戏》T3-三角圣地

带了预处理阶乘的Lucas

[SHOI2015]超能粒子炮·改

lucas合并

礼物,古代猪文

扩展Lucas

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