codeforces 455E

题目：http://codeforces.com/problemset/problem/455/E

题意：给定数组a，及f的定义：

f[1][j] = a[j];  1 <= j <= n

f[i][j] = min(f[i-1][j-1], f[i-1][j]) + a[j];  2 <= i <= j <= n

给定q个询问，每个询问为l,r,求f[l][r]

My solution:

1. 写一些小数据就可以发现，其实对于一个询问l,r,其实等价于：

从[r-l+1, r]这个区间内取l个数，使其和最小。但是比较特殊的是，一个数可以取多次，并且如果取了一个x，那么[x+1,r]间的所有数必须得取。

例如，对于n=3， a = {2, 1, 3}

询问l=3, r=3的取法有：3+3+3=9， 3+3+1=7, 3+1+1=5, 3+1+2= 6；答案为3+1+1=5

2.设答案f[l][r]的询问答案合法区间是在[x, r]这一段取得的，我们还可以发现如下的性质：

1)a[x]一定是[x,r]中最小的，否则存在 x<=y<=r, a[y] <= a[x],比[x,r]更优的区间[y, r]

除[y, r]的共同区间外，剩下的l-y-r个[y,r]区间可以全取a[y]，显然比[x,r]更小

2)a[x+1]~a[y]各取一个，剩下的全取a[x]，因为a[x]是区间最小元素，取越多答案越小

3.基于2我们可以维护一个递增的序列来求答案，但是这样还是不够，妥妥TlE

只能看下决策之间有什么关系了；

对于询问（l,r)不妨设两个决策k<j,并且决策k优于j

那么 (sum[r] - sum[k]) - (l - (r - k)) * a[k] <= (sum[r] - sum[j]) - (l - (r - j)) * a[j];

整理一下式子：

(sum[k] - a[k]*k) - (sum[j] - a[j]*j) / (a[k] - a[j]) <= l - r;

这不就是个斜率的式子，剩下的就是维护一个凸壳即可

4.具体的话对于询问按照r排序，然后离线做

然后二分一左边界，找到合法区间完，再二分找到合法的斜率。具体看代码吧

code：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cstdlib>
 #include <sstream>
 #include <fstream>
 #include <list>
 #include <deque>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <bitset>
 #include <cctype>
 #include <ctime>
 #include <utility>
 #define M0(x) memset(x, 0, sizeof(x))
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 #define x first
 #define y second
 #define vii vector< pair<int, int> >::iterator
 using namespace std;
 const int maxn = ;
 vector< pair<int, int> > ask[maxn];
 int n, m;
 long long sum[maxn], ans[maxn];
 int s[maxn], top, a[maxn];

 inline double slope(int k, int j){
       double yk = sum[k] - (double)k * a[k], yj = sum[j] - (double)j * a[j];
       return (yk - yj) / (a[k] - a[j]);
 }

 void init(){
     for (int i = ; i <= n; ++i)
         scanf("%d", a+i), sum[i] = sum[i-] + a[i];
     for (int i = ; i <= n; ++i) ask[i].clear();
     scanf("%d", &m);
     int l, r;
     for (int i = ; i < m; ++i){
          scanf("%d%d", &l, &r);
          ask[r].pb(mp(l, i));
     }
 }

 void solve(){
     int top = ;
     int l, r, mid, pos;
     for (int i = ; i <= n; ++i){
           while (top >  && a[s[top]] >= a[i]) --top;
           while (top >  && slope(s[top], i) >= slope(s[top-], i)) --top;
           s[++top] = i;
           for (vii it = ask[i].begin(); it != ask[i].end(); ++it){
                 l = lower_bound(s+, s+top+, i-it->x+) - s;
                 r = top-, pos = i;
                 while (l <= r){
                       mid = (l + r) >> ;
                       if (slope(s[mid], s[mid+]) <= it->x - i) pos = s[mid], r = mid - ;
                       else l = mid + ;
                 }
                 ans[it->y] = sum[i] - sum[pos] + (long long)a[pos]*(it->x+pos-i);
           }
     }
     for (int i = ; i < m; ++i)
        printf("%I64d\n", ans[i]);
 }
 int main(){
 //    freopen("a.in","r",stdin);
 //    freopen("a.out","w",stdout);
     while (scanf("%d", &n) != EOF){
         init();
         solve();
     }
     return ;
 }