ICG游戏：斐波那契博弈

描述：

有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则如下：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1颗；

2)之后每次可以取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍；

3)取走最后一个石子的人为赢家。

结论：

如果n为斐波那契数（2,3,5,8,13,21,34,55,89...），则先手必败。

证明一：

如果按原来的套路：

由于局面不仅跟当前剩余数有关，还与上次取的数有关，所以状态中需要考虑能取的数（变得没那么直观）。

必败态：当剩余数为斐波那契数，且不能一次取完时；

　　　　当剩余数不是斐波那契数，但其按Zeckendorf定理分解后，不能一次取完其中最小分解数时。

必胜态：当剩余数不是斐波那契数，且其按Zeckendorf定理分解后，能一次取完其中最小分解数时；

　　　　当能一次取完时剩余数时；

只需证明：

1.必败态任一操作都将转为必胜态；

2.必胜态存在一操作转为必败态；

行但是麻烦，仅与当前局面有关的游戏，用这种分析才方便。

证明二：

当开始是斐波那契数时，用数学归纳法证明必败：

当n=2时，必败；

设当n<=f(k)时，必败；

则当n=f(k + 1)时，有f(k + 1) = f(k) + f(k - 1)：

　　如果取走数量大于等于f(k -1)，则后手可以一次取完，由于f(k) < 2(k - 1)。

　　则先手不能一次取完f(k - 1)。根据归纳法的假设，对于f(k - 1)，后手必能取得f(k - 1)最后一颗。

此时，还需要证明，先手不能一次取完剩下的f(k)：

　　易得，先手取的石子数x = f(k - 1) / 3时，后手则取2 * f(k - 1) / 3，为最大。

　　（由于后手取石子的最大值函数为max(2x, f(k - 1) - x)，两者相等时最大，即x = f(k - 1) / 3）

　　此时，先手能取得最大值为2 * (2 * f(k - 1) / 3)，即4f(k - 1) / 3，与f(k)相比，做差可知后者大，即一次不能取完，由于假设先手必败。

证毕。

当开始不是斐波那契数列时：

由“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

则数n可以分解为n1 + n2 + ... + nx，（1...x是下标）每个都是斐波那契数，且没有两个是连续的；

此时，只要取走最小的那个即可。由于n(x - 1)和nx不连续，则易得n(x - 1) > 2nx，即取走最小那个数后，后手不能取完第二小的数。

此时，问题分解为多个小的斐波那契数，且必败态都是对方。