hdu 6435 CSGO（最大曼哈顿距离）

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Problem Description

You are playing CSGO.
There are n Main Weapons and m Secondary Weapons in CSGO. You can only choose one Main Weapon and one Secondary Weapon. For each weapon, it has a composite score S.
The higher the composite score of the weapon is, the better for you.
Also each weapon has K performance evaluations x[1], x[2], …, x[K].(range, firing rate, recoil, weight…)
So you shold consider the cooperation of your weapons, you want two weapons that have big difference in each performance, for example, AWP + CZ75 is a good choose, and so do AK47 + Desert Eagle.
All in all, you will evaluate your weapons by this formula.(MW for Main Weapon and SW for Secondary Weapon)

$$$$$$S_{MW}+S_{SW}+\sum_{i=1}^{k}{|x_{MW}[i]-x_{SW}[i]|}$$$$$$
Now you have to choose your best Main Weapon & Secondary Weapon and output the maximum evaluation.

Input

Multiple query.
On the first line, there is a positive integer T, which describe the number of data. Next there are T groups of data.
for each group, the first line have three positive integers n, m, K.
then, the next n line will describe n Main Weapons, K+1 integers each line S, x[1], x[2], …, x[K]
then, the next m line will describe m Secondary Weapons, K+1 integers each line S, x[1], x[2], …, x[K]
There is a blank line before each groups of data.
T<=100, n<=100000, m<=100000, K<=5, 0<=S<=1e9, |x[i]|<=1e9, sum of (n+m)<=300000

Output

Your output should include T lines, for each line, output the maximum evaluation for the corresponding datum.

Sample Input

2
2 2 1
0 233
0 666
0 123
0 456
2 2 1
100 0 1000 100 1000 100
100 0

Sample Output

543
2000

题意

$$$n$$$种主武器，$$$m$$$种副武器，主/副武器都有一个主属性$$$S$$$和$$$k$$$个副属性$$$x[1], x[2], ..., x[k]$$$。如果用$$$MW$$$表示主武器，$$$SW$$$表示副武器，则一件主武器和一件副武器搭配的价值为$$$S_{MW}+S_{SW}+\sum_{i=1}^{k}{|x_{MW}[i]-x_{SW}[i]|} $$$，求这样的搭配的最大值为多少。

分析

这道题是poj_2926_ Requirements的升级版，要做这道题，需要先知道怎样去求$$$n$$$个5维向量，两两曼哈顿距离的最大值，也就是要求$$$max\{|x_i-x_j|+|y_i+y_j|+|z_i-z_j|+|p_i-p_j|+|q_i-q_j| \}$$$。
上面的代数式，看似最合理也最基本的做法，就是遍历$$$i,j$$$，计算所有向量之间的曼哈顿距离，复杂度为$$$O(C_n^2\times m)$$$，当$$$n$$$的值很大时，暴力将会超时，所以要从很小的m入手，采用一种直觉上很反智（仅个人观点），但是对计算机很高效的算法。
把绝对值打开会得到两种情况，比如$$$|x_i-x_j|$$$要么是$$$(x_i-x_j)$$$，要么是$$$(-x_i+x_j)$$$，$$$x_i$$$前面的系数是1/-1对应它较大/较小的情况；如果放在五维上分析的话，把两个五维向量$$$A: (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5), B: (b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)$$$的曼哈顿距离的代数式打开，将有$$$2^5=32$$$种情况，每种情况中，$$$a_i$$$的系数可以是$$$1$$$或$$$-1$$$，分别对应$$$a_i$$$在此情况下是较大还是较小，$$$b_i$$$也是同理，而且$$$b_i$$$的系数一定和$$$a_i$$$的系数相反。如果把$$$A$$$和$$$B$$$的系数单独提取出来，变成下面这样
$$$$$$
\begin{align}

& \sum_{i=1}^{5}{(t_{a_i}a_i-t_{a_i}b_i)}\\
=& (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\times

\begin{pmatrix}
t_{a_1}\\
t_{a_2}\\
t_{a_3}\\
t_{a_4}\\
t_{a_5}
\end{pmatrix}

+(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)\times
\begin{pmatrix}
-t_{a_1}\\
-t_{a_2}\\
-t_{a_3}\\
-t_{a_4}\\
-t_{a_5}
\end{pmatrix}\\[3ex]
=& (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\times

\begin{pmatrix}
t_{a_1}\\
t_{a_2}\\
t_{a_3}\\
t_{a_4}\\
t_{a_5}
\end{pmatrix}

-(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)\times
\begin{pmatrix}
t_{a_1}\\
t_{a_2}\\
t_{a_3}\\
t_{a_4}\\
t_{a_5}
\end{pmatrix}
\end{align}
$$$$$$
换一个角度看问题，序列$$$ \begin{pmatrix}
t_{a_1}\\
t_{a_2}\\
t_{a_3}\\
t_{a_4}\\
t_{a_5}
\end{pmatrix}$$$，其实相当于是去衡量$$$A$$$和$$$B$$$大小的一个标准,$$$A$$$和$$$B$$$经过序列的处理，直接就可以比较大小了，并求出差值。那么用它也同样可以用来衡量所有的向量。有了衡量标准的好处是，我们就不用再把向量两两比较才能知道最大的差了，只需要用这个标准来计算出所有向量的值（也就是把每个向量乘上这个序列），用最大值减去最小值就得到了最大的差。
虽然我们并不知道，选用哪个$$$ \begin{pmatrix}
t_1\\
t_2\\
t_3\\
t_4\\
t_5
\end{pmatrix}$$$才是真正的最大差，才是原代数式的值，但是所有的序列包含了所有可能的情况，一定有一个序列对应着原代数式的值，只要遍历了所有的序列，最大的那个就是答案。再看一下复杂度，对于5维的向量，有$$$2^5$$$种情况，要求所有向量在这种情况下的值，所以复杂度就是$$$O(2^5 \times n)$$$，推广到k维的情况下，复杂度就是$$$O(2^kn)$$$，而先前暴力的做法复杂度则为$$$O(\frac{kn(n-1)}{2})=O(kn^2)$$$。优化到这个程度，就能在限定时间求出答案了
说完了最大曼哈顿距离怎么计算，再来看hdu的这道题是不是就容易多了，还是同样的把绝对值打开来计算，只是在每种情况下，向量的大小不光是后面k个数计算的结果，还要再加上一个常数，其他的过程都是类似的。

总结

做法很简单，但真的很神奇，想了很久才理解了是怎么回事，终于又学会了一道题。

代码

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
int first[][], second[][];//武器的副属性
int wf[],ws[];//武器的主属性
LL sf[],ss[];//求和需要用long long 保存

int n,m,k;

int main(){
    int kase;
    LL mf,ms,ans;
    int t;
    for(scanf("%d",&kase);kase;kase--){
        scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
        for(int i=;i<n;++i)
            for(scanf("%d",wf+i),t=;t<k;++t)
                scanf("%d",first[i]+t);
        for(int i=;i<m;++i)
            for(scanf("%d",ws+i),t=;t<k;++t)
                scanf("%d",second[i]+t);
        ans=;
        for(int i=(<<k)-;i>=;--i){//用二进制代表系数的序列，并遍历11111~00000
            for(t=;t<n;++t)sf[t]=;
            for(t=;t<m;++t)ss[t]=;
            for(int w=,j=;j<k;j++,w<<=){//计算在当前序列下的值
                for(t=;t<n;++t)
                    sf[t]=sf[t]+first[t][j]*(i&w?1.0:-1.0);
                for(t=;t<m;++t)
                    ss[t]=ss[t]+second[t][j]*(i&w?1.0:-1.0);
            }
            //还要加上一个常数才是最终大小
            mf=sf[]+wf[];
            for(t=;t<n;++t)
                if(mf<sf[t]+wf[t])mf=sf[t]+wf[t];
            ms=ss[]-ws[];
            for(t=;t<m;++t)
                if(ms>ss[t]-ws[t])ms=ss[t]-ws[t];
            if(ans<mf-ms)ans=mf-ms;
        }
        printf("%lld\n",ans );

    }
}