【ZJOI2005】沼泽鳄鱼 题解报告

题目描述

潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。

为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。

豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。

借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。

现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

输入输出格式

输入格式：

输入文件共M + 2 + NFish行。

第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。

第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。

第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。

第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。

 如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……；

 如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……；

 如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。

豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

输出格式：

输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以10000的余数就行了。

输入输出样例

输入样例#1：

6 8 1 5 3
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1

输出样例#1：

2

说明

 1 ≤ N ≤ 50

 1 ≤ K ≤ 2,000,000,000

 1 ≤ NFish ≤ 20

每一道debug了很久又很有收获的题都要记下来√

邻接矩阵乘法

在写这道题之前，我们先了解邻接矩阵乘法的意义

什么邻接矩阵还有乘法？

想想对于，G[i][j]，如果存在i->j的边那么G[i][j]=1

如果我们把这看做G的一次幂，理解为只走一步时i->j的路线条数【当然肯定是1啦。。】

对于G^2呢？

对于所有的G[i][k]和G[k][j]，都会相乘且结果存在最后的G'[i][j]中，难道这不是走两步时i->j的路线么？

由此，对于任意G^n[i][j],表示从i出发走n步到j的方案数【可以中途经过j】

典题：给定一张图，求从i出发走k步到j的方案数。

题解

有了这样的知识储备，似乎解出这道题就不是难事了。

等等。。食人鱼怎么考虑？

仔细观察，食人鱼的周期很小，为2,3,4，最小公倍数是12

也就是说，我们可以对12个时间内每个时间点建一个邻接矩阵，然后顺次【注意是顺次，矩阵乘法没有交换律】相乘

为了降低复杂度，其中[K/12]组可以放在一起用快速幂算出

坑点：

1、注意正确把握周期时间点，从A[1]乘到A[11]再乘A[0]

1、矩阵乘法没有交换律，得先预处理Q=A[1]*A[2]*......*A[11]*A[0]，再用算出Q^[K/12]，对于剩下的，从A[1]开始乘完K%12个【这个坑了我好久】

3、标号从0开始= =

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn=55,INF=2000000000,P=10000;

inline int read(){
	int out=0,flag=1;char c=getchar();
	while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
	while(c>=48&&c<=57){out=out*10+c-48;c=getchar();}
	return out*flag;
}

struct Matrix{
	LL s[maxn][maxn],n,m;
	Matrix() {n=m=0;memset(s,0,sizeof(s));}
}A[20],Q;

inline Matrix operator *(const Matrix& a,const Matrix& b){
	Matrix c;
	if(a.m!=b.n) return c;
	c.n=a.n;c.m=b.m;
	for(int i=1;i<=c.n;i++)
		for(int j=1;j<=c.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.n;k++)
				c.s[i][j]=(c.s[i][j]+a.s[i][k]*b.s[k][j])%P;
	return c;
}

Matrix qpow(Matrix a,LL b){
	Matrix ans;
	ans.n=ans.m=a.n;
	for(int i=1;i<=ans.n;i++) ans.s[i][i]=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a) if(b&1) ans=ans*a;
	return ans;
}

int N,M,S,E,K,uns[20][maxn],G[maxn][maxn];

void init(){
	N=read();M=read();S=read()+1;E=read()+1;K=read();
	int a,b;
	while(M--){
		a=read()+1;
		b=read()+1;
		G[a][b]=G[b][a]=1;
	}
	int NF=read(),T,u;
	while(NF--){
		T=read();
		for(int i=0;i<T;i++){
			u=read()+1;
			for(int j=i;j<12;j+=T)
				uns[j][u]=true;
		}
	}
	Q.n=Q.m=N;
	for(int i=1;i<=N;i++) Q.s[i][i]=1;
	for(int t=0;t<12;t++){
		A[t].n=A[t].m=N;
		for(int i=1;i<=N;i++)
			for(int j=1;j<=N;j++){
				A[t].s[i][j]=(G[i][j]&&!uns[t][j]);
			}
	}
	for(int i=1;i<12;i++) Q=Q*A[i];
	Q=Q*A[0];
}

void solve(){
	int k=K/12,t=K-k*12;
	Matrix ans;ans.n=ans.m=N;
	for(int i=1;i<=N;i++) ans.s[i][i]=1;
	ans=ans*qpow(Q,k);
	for(int i=1;i<=t;i++) ans=ans*A[i];
	cout<<ans.s[S][E]<<endl;
}

int main(){
	init();
	/*for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=N;j++) cout<<G[i][j]<<' ';
		cout<<endl;
	}
	for(int t=0;t<12;t++){
		cout<<endl<<endl;
		for(int i=1;i<=N;i++){
			for(int j=1;j<=N;j++) cout<<A[t].s[i][j]<<' ';
			cout<<endl;
		}
	}*/
	solve();
	return 0;
}