数论--扩展欧几里得exgcd

算法思想

我们想求得一组\(x,y\)使得 \(ax+by = \gcd(a,b)\)

根据 \(\gcd(a,b) = \gcd(b,a\bmod b)\)

如果我们现在有\(x',y'\) 使得 \(bx'+(a\bmod b)y' = \gcd(b,a\bmod b)\)

那么

$ax+by = bx'+( a-\lfloor\frac a b\rfloor b)y'$

移项之后

\(ax+by = ay'+b(x'-\lfloor\frac a b\rfloor y')\)

我们可以得到一组特解
$x = y',y = x' - \lfloor\frac a b\rfloor y'$

递归求解,当\(b = 0\)时候,\(x = 1,y = 0\);

模板

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1; y = 0;return a;
    }
    int x1,y1;
    int ans = exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x = y1;
    y = x1-(a/b)*y1;
    return ans;
}

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P1082

参考博客

https://www.zybuluo.com/samzhang/note/541890