构建n位元的格雷码

二进制格雷码的生成

1、什么是格雷码

Gray Code是一个数列集合，每个数使用二进制来表示，假设使用n位元来表示每个数字，那么任两个数之间只有一个位元值不同。log2(16)=4

例如： 生成4位元的格雷码就是： 0000    0001   0011  0010   0110   0111   0101   0100   1100   1101  1111   1110  1010  1011  1001  1000

Gray Code的顺序并不是唯一的，可以是上面的所形成的数列的任意一种。Gray Code是由贝尔实验室的Frank Gray在1940年代提出的，用来在使用PCM（Pusle Code Modulation）方法传送讯号时避免出错，并于1953年三月十七日取得美国专利。如果要产生n位的格雷码，那么格雷码的个数为2^n个

2，为什么要使用格雷码？
格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码，其循环和单步特性消除了随机取数时出现重大错误的可能，其反射和自补特性使得对其进行求反操作也非常方便，所以，格雷码属于一种可靠性编码，是一种错误最小化的编码方式，因此格雷码在通信和测量技术中得到广泛应用。

格雷码属于可靠性编码，是一种错误最小化的编码方式。因为，虽然自然二进制码可以直接由数/模转换器转换成模拟信号，但在某些情况，例如从十进制的3转换为4时二进制码的每一位都要变，能使数字电路产生很大的尖峰电流脉冲。而格雷码则没有这一缺点，它在相邻位间转换时，只有一位产生变化。它大大地减少了由一个状态到下一个状态时逻辑的混淆。由于这种编码相邻的两个码组之间只有一位不同，因而在用于方向的转角位移量－数字量的转换中，当方向的转角位移量发生微小变化（而可能引起数字量发生变化时，格雷码仅改变一位，这样与其它编码同时改变两位或多位的情况相比更为可靠，即可减少出错的可能性。

在数字系统中，常要求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中，4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其它代码（1100、1111等）。在特定情况下可能导致电路状态错误或输入错误。使用格雷码可以避免这种错误。

格雷码是一种绝对编码方式，典型格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码，它的循环、单步特性消除了随机取数时出现重大误差的可能，它的反射、自补特性使得求反非常方便。

由于格雷码是一种变权码，每一位码没有固定的大小，很难直接进行比较大小和算术运算，也不能直接转换成液位信号，要经过一次码变换，变成自然二进制码，再由上位机读取。

典型格雷码是一种采用绝对编码方式的准权码，其权的绝对值为2^i-1(设最低位i=1)。

格雷码的十进制数奇偶性与其码字中1的个数的奇偶性相同。

3，应用

格雷氏编码与相位移在三维曲面量测：利用格雷码投射在微型曲面做量测 一个非接触式、投影的方法光学测量。

在化简逻辑函数时，可以通过按格雷码排列的卡诺图来完成。

角度传感器：汽车制动系统有时需要传感器产生的数字值来指示机械位置。如图是编码盘和一些触点的概念图，根据盘转的位置，触点产生一个3位二进制编码，共有8个这样的编码。盘中暗的区域与对应的逻辑1的信号源相连；亮的区域没有连接，触点将其解释为逻辑0。使用格雷码对编码盘上的亮暗区域编码，使得其连续的码字之间只有一个数位变化。这样就不会因为器件制造的精确度有限，而使得触点转到边界位置而出现错误编码。

九连环问题：中国的古老益智玩具九连环有着和格雷码完全相同的数学模式，外国一款名为spin out的玩具也是运用相同的数学模式。智力玩具九连环的状态 变化符合格雷码的编码规律，汉诺塔的解法也与格雷码有关。九连环中的每个环都有上下两种状态，如果把这两种状态用0/1来表示的话，这个状态序列就会形成一种循环二进制编码（格雷码）的序列。所以解决九连环问题所需要的状态变化数就是格雷码111111111所对应的十进制数341。

4，二进制格雷码的生成
问题：产生n位元的所有格雷码字符串表示。
　　格雷码(Gray Code)是一个数列集合，每个数使用二进位来表示，假设使用n位元来表示每个数字，任两个数之间只有一个位元值不同。
　　例如以下为3位元的格雷码： 000 001 011 010 110 111 101 100 。
　　如果要产生n位元的格雷码，那么格雷码的个数为2^n

总结：n位元的格雷码的个数为m,则 关系式为 Log2(m)=n 需要执行个数-1步(m-1)  比如3位元的格雷码个数为8个：Log2(8)=3  即： ( 2^n) - 1 步

5，直接排列

生成二进制格雷码方式1：以二进制为0值的格雷码为第零项，第一项改变最右边的位元，第二项改变右起第一个为1的位元的左边位元，第三、四项方法同第一、二项，如此反复，即可排列出n个位元的格雷码。

假设原始的值从0开始，格雷码产生的规律是：
第一步，改变最右边的位元值；
第二步，改变右起第一个为1的位元的左边位元；
第三步，第四步重复第一步和第二步，直到所有的格雷码产生完毕（换句话说，已经走了(2^n) - 1 步）。
用一个例子来说明：

总结：
当产生第偶数个数时，先找到最右边的一个1，把它左边的数字改变。

当产生第偶数个数时，先找到最右边的一个1，把它左边的数字改变。

　假设产生3位元的格雷码，原始值位 000
　　第一步：改变最右边的位元值： 001
　　第二步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 011
　　第三步：改变最右边的位元值： 010
　　第四步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 110
　　第五步：改变最右边的位元值： 111
　　第六步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 101
　　第七步：改变最右边的位元值： 100

2，镜射排列

生成二进制格雷码方式2：n位元的格雷码可以从n-1位元的格雷码以上下镜射后加上新位元的方式快速的得到，如图所示。

  

如果按照直接排列规则来生成格雷码，是没有问题的，但是这样做太复杂了。如果仔细观察格雷码的结构，我们会有以下发现：
　　1、除了最高位（左边第一位），格雷码的位元完全上下对称（看下面列表）。比如第一个格雷码与最后一个格雷码对称（除了第一位），第二个格雷码与倒数第二个对称，以此类推。
　　2、最小的重复单元是 0 , 1。

所以，在实现的时候，我们完全可以利用递归，在每一层前面加上0或者1，然后就可以列出所有的格雷码。
　　比如：
　　第一步：产生 0, 1 两个字符串。
　　第二步：在第一步的基础上，正向每一个字符串都分别加上0，然后反向迭代每一个字符串都加上1，但是每次只能加一个，所以得做两次。这样就变成了 00,01,11,10 （注意对称）。
　　第三步：在第二步的基础上，再给每个字符串都加上0和1，同样，每次只能加一个，这样就变成了 000,001,011,010,110,111,101,100。这样就把3位元格雷码生成好了。
　　如果要生成4位元格雷码，我们只需要在3位元格雷码上再加一层0,1就可以了： 0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1110,1010,0111,1001,1000.
 　　也就是说，n位元格雷码是基于n-1位元格雷码产生的。

[格雷码（Gray Code）转二进制码（Binary Code）]

[格雷码与二进制的转换]

例如c语言生成n位格雷码：

格雷码是以n位的二进制来表示数。
与普通的二进制表示不同的是，它要求相邻两个数字只能有1个数位不同。
首尾两个数字也要求只有1位之差。

有很多算法来生成格雷码。以下是较常见的一种：
从编码全0开始生成。
当产生第奇数个数时，只把当前数字最末位改变（0变1，1变0）
当产生第偶数个数时，先找到最右边的一个1，把它左边的数字改变。
用这个规则产生的4位格雷码序列如下：

0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000

例1，将输入的常数，自动识别位元数，并转换为格雷码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
void change(char &ch) {
    if (ch == '')
        ch = '';
    else
        ch = '';
}
int main() {
    int n;//需要转换的数
    scanf_s("%d", &n);        //输入需要转换的数
    int size = log2(n) + ;   //计算所需位数 size位元 float 到 int 顶多是数值失真,小数部分会丢失
    //printf("111%f\n", log2(7));==2.8
    char *a = new char[size];
    a[size] = '\0';
    memset(a, '', size);         //初始化数组 ：将已开辟内存空间 a 的首 size个字节的值设为值 0。
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        if (i % )//余数不为0 当产生第奇数个数时，只把当前数字最末位改变（0变1，1变0）
            change(a[size - ]);    //奇数改末尾
        else      //余数为0  当产生第偶数个数时，先找到最右边的一个1，把它左边的数字改变。
            for (int j = size - ; j > ; j--) {  //偶数操作
                if (a[j] == '') {
                    change(a[j - ]);
                    break;
                }
            }
        printf("%s\n", a);    //此行可去除
    }
    printf("result = %s\n", a);

    return ;
}

例2；要求输入位元n,转换打印出所有该位元的格雷码：(和上面代码变动不大，注意细节)

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
void change(char &ch) {
    if (ch == '')
        ch = '';
    else
        ch = '';
}
int main() {
    int n;//需要转换的数
    printf("请输入需要转换的格雷码位元数：");
    scanf_s("%d", &n);        //输入需要转换的数
    //int size = log2(n) + 1;   //计算所需位数 size位元 float 到 int 顶多是数值失真,小数部分会丢失
    printf("测试N:%f\n", log2());//==2.8

    char *a = new char[n];
    a[n] = '\0';
    memset(a, '', n);         //初始化数组 ：将已开辟内存空间 a 的首 size个字节的值设为值 0。
    for (int i = ; i <=pow(,n); i++) {
        if (i % )//余数不为0 当产生第奇数个数时，只把当前数字最末位改变（0变1，1变0）
            change(a[n - ]);    //奇数改末尾
        else      //余数为0  当产生第偶数个数时，先找到最右边的一个1，把它左边的数字改变。
            for (int j = n - ; j > ; j--) {  //偶数操作
                if (a[j] == '') {
                    change(a[j - ]);
                    break;
                }
            }
        printf("%s\n", a);    //此行可去除
    }
    printf("result = %s\n", a);

    return ;
}