python 8 函数

调用函数

---

Python内置了很多有用的函数，我们可以直接调用。

要调用一个函数，需要知道函数的名称和参数，比如求绝对值的函数abs，只有一个参数。可以直接从Python的官方网站查看文档：

也可以在交互式命令行通过help(abs)查看abs函数的帮助信息。

调用abs函数：

>>> abs(100)
100
>>> abs(-20)
20
>>> abs(12.34)
12.34

调用函数的时候，如果传入的参数数量不对，会报TypeError的错误，并且Python会明确地告诉你：abs()有且仅有1个参数，但给出了两个：

>>> abs(1, 2)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: abs() takes exactly one argument (2 given)

如果传入的参数数量是对的，但参数类型不能被函数所接受，也会报TypeError的错误，并且给出错误信息：str是错误的参数类型：

>>> abs('a')
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: bad operand type for abs(): 'str'

而max函数max()可以接收任意多个参数，并返回最大的那个：

>>> max(1, 2)
2
>>> max(2, 3, 1, -5)
3

数据类型转换

Python内置的常用函数还包括数据类型转换函数，比如int()函数可以把其他数据类型转换为整数：

>>> int('123')
123
>>> int(12.34)
12
>>> float('12.34')
12.34
>>> str(1.23)
'1.23'
>>> str(100)
'100'
>>> bool(1)
True
>>> bool('')
False

函数名其实就是指向一个函数对象的引用，完全可以把函数名赋给一个变量，相当于给这个函数起了一个“别名”：

>>> a = abs # 变量a指向abs函数
>>> a(-1) # 所以也可以通过a调用abs函数
1

===================================================================================================================================================================

定义函数

---

在Python中，定义一个函数要使用def语句，依次写出函数名、括号、括号中的参数和冒号:，然后，在缩进块中编写函数体，函数的返回值用return语句返回。

我们以自定义一个求绝对值的my_abs函数为例：

# -*- coding: utf-8 -*-

def my_abs(x):
　　if x >= 0:
　　return x
　　else:
　　return -x

print(my_abs(-99))

请自行测试并调用my_abs看看返回结果是否正确。

请注意，函数体内部的语句在执行时，一旦执行到return时，函数就执行完毕，并将结果返回。因此，函数内部通过条件判断和循环可以实现非常复杂的逻辑。

如果没有return语句，函数执行完毕后也会返回结果，只是结果为None。return None可以简写为return。

在Python交互环境中定义函数时，注意Python会出现...的提示。函数定义结束后需要按两次回车重新回到>>>提示符下：

┌────────────────────────────────────────────────────────┐
│Command Prompt - python                           - □ x │
├────────────────────────────────────────────────────────┤
│>>> def my_abs(x):                                      │
│...     if x >= 0:                                      │
│...         return x                                    │
│...     else:                                           │
│...         return -x                                   │
│...                                                     │
│>>> my_abs(-9)                                          │
│9                                                       │
│>>> _                                                   │
│                                                        │
│                                                        │
└────────────────────────────────────────────────────────┘

如果你已经把my_abs()的函数定义保存为abstest.py文件了，那么，可以在该文件的当前目录下启动Python解释器，用from abstest import my_abs来导入my_abs()函数，注意abstest是文件名（不含.py扩展名）：

┌────────────────────────────────────────────────────────┐
│Command Prompt - python                           - □ x │
├────────────────────────────────────────────────────────┤
│>>> from abstest import my_abs                          │
│>>> my_abs(-9)                                          │
│9                                                       │
│>>> _                                                   │
│                                                        │

import的用法在后续模块一节中会详细介绍。

空函数

如果想定义一个什么事也不做的空函数，可以用pass语句：

def nop():
    pass

pass语句什么都不做，那有什么用？实际上pass可以用来作为占位符，比如现在还没想好怎么写函数的代码，就可以先放一个pass，让代码能运行起来。

pass还可以用在其他语句里，比如：

if age >= 18:
    pass

缺少了pass，代码运行就会有语法错误。

参数检查

调用函数时，如果参数个数不对，Python解释器会自动检查出来，并抛出TypeError：

>>> my_abs(1, 2)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: my_abs() takes 1 positional argument but 2 were given

但是如果参数类型不对，Python解释器就无法帮我们检查。试试my_abs和内置函数abs的差别：

>>> my_abs('A')
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 2, in my_abs
TypeError: unorderable types: str() >= int()
>>> abs('A')
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: bad operand type for abs(): 'str'

当传入了不恰当的参数时，内置函数abs会检查出参数错误，而我们定义的my_abs没有参数检查，会导致if语句出错，出错信息和abs不一样。所以，这个函数定义不够完善。

让我们修改一下my_abs的定义，对参数类型做检查，只允许整数和浮点数类型的参数。数据类型检查可以用内置函数isinstance()实现：

def my_abs(x):
    if not isinstance(x, (int, float)):
        raise TypeError('bad operand type')
    if x >= 0:
        return x
    else:
        return -x

添加了参数检查后，如果传入错误的参数类型，函数就可以抛出一个错误：

>>> my_abs('A')
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 3, in my_abs
TypeError: bad operand type

错误和异常处理将在后续讲到。

返回多个值

函数可以返回多个值吗？答案是肯定的。

比如在游戏中经常需要从一个点移动到另一个点，给出坐标、位移和角度，就可以计算出新的新的坐标：

import math

def move(x, y, step, angle=0):
    nx = x + step * math.cos(angle)
    ny = y - step * math.sin(angle)
    return nx, ny

import math语句表示导入math包，并允许后续代码引用math包里的sin、cos等函数。

然后，我们就可以同时获得返回值：

>>> x, y = move(100, 100, 60, math.pi / 6)
>>> print(x, y)
151.96152422706632 70.0

但其实这只是一种假象，Python函数返回的仍然是单一值：

>>> r = move(100, 100, 60, math.pi / 6)
>>> print(r)
(151.96152422706632, 70.0)

原来返回值是一个tuple！但是，在语法上，返回一个tuple可以省略括号，而多个变量可以同时接收一个tuple，按位置赋给对应的值，所以，Python的函数返回多值其实就是返回一个tuple，但写起来更方便。

小结  ！！！！！！！！！！

定义函数时，需要确定函数名和参数个数；

如果有必要，可以先对参数的数据类型做检查；

函数体内部可以用return随时返回函数结果；

函数执行完毕也没有return语句时，自动return None。

函数可以同时返回多个值，但其实就是一个tuple。

练习

请定义一个函数quadratic(a, b, c)，接收3个参数，返回一元二次方程：

ax2 + bx + c = 0

的两个解。 代码如下实现！！！！！！

import math   

　　　　　　a = int(input('请输入a的值：'))

　　　　　　b = int(input('请输入b的值：'))

　　　　　　c = int(input('请输入c的值：'))

　　　　　　def  sqr(a, b, c):

　　　　　　　　for i in (a, b, c):

　　　　　　　　　　if not isinstance(i, (float, int)):     #这是一个参数类型的检查   看清楚了  如果 不符合类型  输入数据 error

　　　　　　　　　　print('数据类型输入有误，请重新输入！')

　　　　　　d = b b - 4 a c

　　　　　　if d < 0:

　　 　　　  　　print('此方程无实数解！')

　　　　　　　　pass

　　　　　　elif d == 0:

　　　　　　　　print('此方程有唯一实数解！')

　　　　　　else:

　　 　　　　　  print('此方程有两个实数解！')

　　　　 x1 = (0 - b - math.sqrt(d)) / (2 a)

　　　　 x2 = (0 - b + math.sqrt(d)) / (2 * a)

　　　　return x1, x2

　　　　 r = sqr(a, b, c) print(r)  #测试！！！！！！！！1

================================================================================

# 测试:
print('sqr(2, 3, 1) =', sqr(2, 3, 1))
print('sqr(1, 3, -4) =', sqr(1, 3, -4))

if sqr(2, 3, 1) != (-0.5, -1.0):
    print('测试失败')
elif sqr(1, 3, -4) != (1.0, -4.0):
    print('测试失败')
else:
    print('测试成功')

===========================================================！！！！！！！！！！！！！！！！！！

函数的参数

---

定义函数的时候，我们把参数的名字和位置确定下来，函数的接口定义就完成了。对于函数的调用者来说，只需要知道如何传递正确的参数，以及函数将返回什么样的值就够了，函数内部的复杂逻辑被封装起来，调用者无需了解。

Python的函数定义非常简单，但灵活度却非常大。除了正常定义的必选参数外，还可以使用默认参数、可变参数和关键字参数，使得函数定义出来的接口，不但能处理复杂的参数，还可以简化调用者的代码。

位置参数

我们先写一个计算x2的函数：

def power(x):
    return x * x

对于power(x)函数，参数x就是一个位置参数。

当我们调用power函数时，必须传入有且仅有的一个参数x：

>>> power(5)
25
>>> power(15)
225

现在，如果我们要计算x3怎么办？可以再定义一个power3函数，但是如果要计算x4、x5……怎么办？我们不可能定义无限多个函数。

你也许想到了，可以把power(x)修改为power(x, n)，用来计算xn，说干就干：

def power(x, n):
    s = 1
    while n > 0:
        n = n - 1
        s = s * x
    return s

对于这个修改后的power(x, n)函数，可以计算任意n次方：

>>> power(5, 2)
25
>>> power(5, 3)
125

修改后的power(x, n)函数有两个参数：x和n，这两个参数都是位置参数，调用函数时，传入的两个值按照位置顺序依次赋给参数x和n。

默认参数

新的power(x, n)函数定义没有问题，但是，旧的调用代码失败了，原因是我们增加了一个参数，导致旧的代码因为缺少一个参数而无法正常调用：

>>> power(5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: power() missing 1 required positional argument: 'n'

Python的错误信息很明确：调用函数power()缺少了一个位置参数n。

这个时候，默认参数就排上用场了。由于我们经常计算x2，所以，完全可以把第二个参数n的默认值设定为2：

def power(x, n=2):
    s = 1
    while n > 0:
        n = n - 1
        s = s * x
    return s

这样，当我们调用power(5)时，相当于调用power(5, 2)：

>>> power(5)
25
>>> power(5, 2)
25

而对于n > 2的其他情况，就必须明确地传入n，比如power(5, 3)。

从上面的例子可以看出，默认参数可以简化函数的调用。设置默认参数时，有几点要注意：

一是必选参数在前，默认参数在后，否则Python的解释器会报错（思考一下为什么默认参数不能放在必选参数前面）；

二是如何设置默认参数。

当函数有多个参数时，把变化大的参数放前面，变化小的参数放后面。变化小的参数就可以作为默认参数。

使用默认参数有什么好处？最大的好处是能降低调用函数的难度。

举个例子，我们写个一年级小学生注册的函数，需要传入name和gender两个参数：

def enroll(name, gender):
    print('name:', name)
    print('gender:', gender)

这样，调用enroll()函数只需要传入两个参数：

>>> enroll('Sarah', 'F')
name: Sarah
gender: F

如果要继续传入年龄、城市等信息怎么办？这样会使得调用函数的复杂度大大增加。

我们可以把年龄和城市设为默认参数：

def enroll(name, gender, age=6, city='Beijing'):
    print('name:', name)
    print('gender:', gender)
    print('age:', age)
    print('city:', city)

这样，大多数学生注册时不需要提供年龄和城市，只提供必须的两个参数：

>>> enroll('Sarah', 'F')
name: Sarah
gender: F
age: 6
city: Beijing

只有与默认参数不符的学生才需要提供额外的信息：

enroll('Bob', 'M', 7)
enroll('Adam', 'M', city='Tianjin')

可见，默认参数降低了函数调用的难度，而一旦需要更复杂的调用时，又可以传递更多的参数来实现。无论是简单调用还是复杂调用，函数只需要定义一个。

有多个默认参数时，调用的时候，既可以按顺序提供默认参数，比如调用enroll('Bob', 'M', 7)，意思是，除了name，gender这两个参数外，最后1个参数应用在参数age上，city参数由于没有提供，仍然使用默认值。

也可以不按顺序提供部分默认参数。当不按顺序提供部分默认参数时，需要把参数名写上。比如调用enroll('Adam', 'M', city='Tianjin')，意思是，city参数用传进去的值，其他默认参数继续使用默认值。

默认参数很有用，但使用不当，也会掉坑里。默认参数有个最大的坑，演示如下：

先定义一个函数，传入一个list，添加一个END再返回：

def add_end(L=[]):
    L.append('END')
    return L

当你正常调用时，结果似乎不错：

>>> add_end([1, 2, 3])
[1, 2, 3, 'END']
>>> add_end(['x', 'y', 'z'])
['x', 'y', 'z', 'END']

当你使用默认参数调用时，一开始结果也是对的：

>>> add_end()
['END']

但是，再次调用add_end()时，结果就不对了：

>>> add_end()
['END', 'END']
>>> add_end()
['END', 'END', 'END']

很多初学者很疑惑，默认参数是[]，但是函数似乎每次都“记住了”上次添加了'END'后的list。

原因解释如下：

Python函数在定义的时候，默认参数L的值就被计算出来了，即[]，因为默认参数L也是一个变量，它指向对象[]，每次调用该函数，如果改变了L的内容，则下次调用时，默认参数的内容就变了，不再是函数定义时的[]了。

 定义默认参数要牢记一点：默认参数必须指向不变对象！

要修改上面的例子，我们可以用None这个不变对象来实现：

def add_end(L=None):
    if L is None:
        L = []
    L.append('END')
    return L

现在，无论调用多少次，都不会有问题：

>>> add_end()
['END']
>>> add_end()
['END']

为什么要设计str、None这样的不变对象呢？因为不变对象一旦创建，对象内部的数据就不能修改，这样就减少了由于修改数据导致的错误。

此外，由于对象不变，多任务环境下同时读取对象不需要加锁，同时读一点问题都没有。我们在编写程序时，如果可以设计一个不变对象，那就尽量设计成不变对象。

可变参数

在Python函数中，还可以定义可变参数。顾名思义，可变参数就是传入的参数个数是可变的，可以是1个、2个到任意个，还可以是0个。

我们以数学题为例子，给定一组数字a，b，c……，请计算a2 + b2 + c2 + ……。

要定义出这个函数，我们必须确定输入的参数。由于参数个数不确定，我们首先想到可以把a，b，c……作为一个list或tuple传进来，这样，函数可以定义如下：

def calc(numbers):
    sum = 0
    for n in numbers:
        sum = sum + n * n
    return sum

但是调用的时候，需要先组装出一个list或tuple：

>>> calc([1, 2, 3])
14
>>> calc((1, 3, 5, 7))
84

如果利用可变参数，调用函数的方式可以简化成这样：

>>> calc(1, 2, 3)
14
>>> calc(1, 3, 5, 7)
84

所以，我们把函数的参数改为可变参数：

def calc(*numbers):
    sum = 0
    for n in numbers:
        sum = sum + n * n
    return sum

定义可变参数和定义一个list或tuple参数相比，仅仅在参数前面加了一个*号。

在函数内部，参数numbers接收到的是一个tuple，因此，函数代码完全不变。但是，调用该函数时，可以传入任意个参数，包括0个参数：

>>> calc(1, 2)
5
>>> calc()
0

如果已经有一个list或者tuple，要调用一个可变参数怎么办？可以这样做：

>>> nums = [1, 2, 3]
>>> calc(nums[0], nums[1], nums[2])
14

这种写法当然是可行的，问题是太繁琐，所以Python允许你在list或tuple前面加一个*号，把list或tuple的元素变成可变参数传进去：

>>> nums = [1, 2, 3]
>>> calc(*nums)
14

*nums表示把nums这个list的所有元素作为可变参数传进去。这种写法相当有用，而且很常见。

关键字参数

可变参数允许你传入0个或任意个参数，这些可变参数在函数调用时自动组装为一个tuple。而关键字参数允许你传入0个或任意个含参数名的参数，这些关键字参数在函数内部自动组装为一个dict。请看示例：

def person(name, age, **kw):
    print('name:', name, 'age:', age, 'other:', kw)

函数person除了必选参数name和age外，还接受关键字参数kw。在调用该函数时，可以只传入必选参数：

>>> person('Michael', 30)
name: Michael age: 30 other: {}

也可以传入任意个数的关键字参数：

>>> person('Bob', 35, city='Beijing')
name: Bob age: 35 other: {'city': 'Beijing'}
>>> person('Adam', 45, gender='M', job='Engineer')
name: Adam age: 45 other: {'gender': 'M', 'job': 'Engineer'}

关键字参数有什么用？它可以扩展函数的功能。比如，在person函数里，我们保证能接收到name和age这两个参数，但是，如果调用者愿意提供更多的参数，我们也能收到。试想你正在做一个用户注册的功能，除了用户名和年龄是必填项外，其他都是可选项，利用关键字参数来定义这个函数就能满足注册的需求。

和可变参数类似，也可以先组装出一个dict，然后，把该dict转换为关键字参数传进去：

>>> extra = {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'}
>>> person('Jack', 24, city=extra['city'], job=extra['job'])
name: Jack age: 24 other: {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'}

当然，上面复杂的调用可以用简化的写法：

>>> extra = {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'}
>>> person('Jack', 24, **extra)
name: Jack age: 24 other: {'city': 'Beijing', 'job': 'Engineer'}

**extra表示把extra这个dict的所有key-value用关键字参数传入到函数的**kw参数，kw将获得一个dict，注意kw获得的dict是extra的一份拷贝，对kw的改动不会影响到函数外的extra。

命名关键字参数

对于关键字参数，函数的调用者可以传入任意不受限制的关键字参数。至于到底传入了哪些，就需要在函数内部通过kw检查。

仍以person()函数为例，我们希望检查是否有city和job参数：

def person(name, age, **kw):
    if 'city' in kw:
        # 有city参数
        pass
    if 'job' in kw:
        # 有job参数
        pass
    print('name:', name, 'age:', age, 'other:', kw)

但是调用者仍可以传入不受限制的关键字参数：

>>> person('Jack', 24, city='Beijing', addr='Chaoyang', zipcode=123456)

如果要限制关键字参数的名字，就可以用命名关键字参数，例如，只接收city和job作为关键字参数。这种方式定义的函数如下：

def person(name, age, *, city, job):
    print(name, age, city, job)

和关键字参数**kw不同，  命名关键字参数需要一个特殊分隔符*。  *后面的参数被视为命名关键字参数。

调用方式如下：

>>> person('Jack', 24, city='Beijing', job='Engineer')
Jack 24 Beijing Engineer

如果函数定义中已经有了一个可变参数，后面跟着的命名关键字参数就不再需要一个特殊分隔符*了：

def person(name, age, *args, city, job):
    print(name, age, args, city, job)

命名关键字参数必须传入参数名，这和位置参数不同。如果没有传入参数名，调用将报错：

>>> person('Jack', 24, 'Beijing', 'Engineer')
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: person() takes 2 positional arguments but 4 were given

由于调用时缺少参数名city和job，Python解释器把这4个参数均视为位置参数，但person()函数仅接受2个位置参数。

命名关键字参数可以有缺省值，从而简化调用：

def person(name, age, *, city='Beijing', job):
    print(name, age, city, job)

由于命名关键字参数city具有默认值，调用时，可不传入city参数：

>>> person('Jack', 24, job='Engineer')
Jack 24 Beijing Engineer

使用命名关键字参数时，要特别注意，如果没有可变参数（*arg），就必须加一个*作为特殊分隔符。如果缺少*，Python解释器将无法识别位置参数和命名关键字参数：

def person(name, age, city, job):
    # 缺少 *，city和job被视为位置参数
    pass

参数组合

在Python中定义函数，可以用必选参数、默认参数、可变参数、关键字参数和命名关键字参数，这5种参数都可以组合使用。

但是请注意，参数定义的顺序必须是：必选参数、默认参数、可变参数、命名关键字参数和关键字参数。

比如定义一个函数，包含上述若干种参数：

def f1(a, b, c=0, *args, **kw):
    print('a =', a, 'b =', b, 'c =', c, 'args =', args, 'kw =', kw)

def f2(a, b, c=0, *, d, **kw):   #如果没有可变参数（*arg），就必须加一个*作为特殊分隔符
    print('a =', a, 'b =', b, 'c =', c, 'd =', d, 'kw =', kw)

在函数调用的时候，Python解释器自动按照参数位置和参数名把对应的参数传进去。

>>> f1(1, 2)
a = 1 b = 2 c = 0 args = () kw = {}
>>> f1(1, 2, c=3)
a = 1 b = 2 c = 3 args = () kw = {}
>>> f1(1, 2, 3, 'a', 'b')
a = 1 b = 2 c = 3 args = ('a', 'b') kw = {}
>>> f1(1, 2, 3, 'a', 'b', x=99)
a = 1 b = 2 c = 3 args = ('a', 'b') kw = {'x': 99}
>>> f2(1, 2, d=99, ext=None)
a = 1 b = 2 c = 0 d = 99 kw = {'ext': None}

最神奇的是通过一个tuple和dict，你也可以调用上述函数：

>>> args = (1, 2, 3, 4)
>>> kw = {'d': 99, 'x': '#'}
>>> f1(*args, **kw)
a = 1 b = 2 c = 3 args = (4,) kw = {'d': 99, 'x': '#'}
>>> args = (1, 2, 3)
>>> kw = {'d': 88, 'x': '#'}
>>> f2(*args, **kw)
a = 1 b = 2 c = 3 d = 88 kw = {'x': '#'}

所以，对于任意函数，都可以通过类似func(*args, **kw)的形式调用它，无论它的参数是如何定义的。

 虽然可以组合多达5种参数，但不要同时使用太多的组合，否则函数接口的可理解性很差。

 

练习

以下函数允许计算两个数的乘积，请稍加改造，变成可接收一个或多个数并计算乘积：

答案 未填写   ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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递归函数

---

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数fact(n)表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：

def fact(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试：

>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)：

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact
  ...
  File "<stdin>", line 4, in fact
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。

这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1) 引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。

要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

def fact(n):
    return fact_iter(n, 1)

def fact_iter(num, product):
    if num == 1:
        return product
    return fact_iter(num - 1, num * product)

可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)仅返回递归函数本身，num - 1和num * product在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

fact(5)对应的fact_iter(5, 1)的调用如下：

===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20)
===> fact_iter(2, 60)
===> fact_iter(1, 120)
===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。

练习

汉诺塔的移动可以用递归函数非常简单地实现。

请编写move(n, a, b, c)函数，它接收参数n，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法，例如：

没有实现！！！！！！！！！！！！

def move(n, a, b, c):

　　if n == 1:
　　print(a, '-->', c)

# 期待输出:
# A --> C
# A --> B
# C --> B
# A --> C
# B --> A
# B --> C
# A --> C
move(3, 'A', 'B', 'C')