1479: [Nerrc1997]Puncher打孔机

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Description

打孔机是一种在票上打孔的装置, 假设票是一个M*N的矩阵,矩阵行列间距相等,你可以选择在M*N个位置上打穿或不打穿,这样就有 2^(M*N)-1(至少要打一个孔)不同的方案数。 但是我们的问题并不是这么简单的,如果两种方案经过如下的若干操作后,打穿的孔刚好重合,那么认为这两个方案是相同的: •翻转 •旋转0,90,180,270 •平行移动 显然如果两种方案上孔的数目不同,那么必然是不同的方案。现在你的问题就是给定M,N,算出所有不同的方案数。

Input

文件包含两个数M(≤6), N (≤10) ,用空格分开。

Output

只有一行,为所求的方案数。

Sample Input

3 3

Sample Output

85

HINT


题解:
  看到这道题,没有一点思路,看了题解才知道什么叫做恶心数学题【此处D膜拜出题人】
  我们考虑忽略平移对这道题目的影响,毕竟我们对于旋转翻转之类的比较了解,于是我们思考设立一个状态状态来包含所有置换
  •于是我们设:
    Fu-v表示u行v列的矩阵中,在其每条边上都至少有一个格子被染色,其本质不同的染色方案数。
    因为每条边上都有染色的格子,所以无论向哪个方向平移,都会有染色的格子移出矩阵,所以无法进行平移操作的,那么只需要考虑翻转和旋转了。
  •

    G0uv    表示每条边上都至少有一个格子被染色的u行v列的矩阵,总的染色方案数。

    G1uv  表示每条边上都至少有一个格子被染色的u行v列的矩阵,其通过旋转180度保持不变的染色方案数。

    G2uv  表示每条边上都至少有一个格子被染色的u行u列的矩阵,其通过旋转90度或270度保持不变的染色方案数。

    G3uv  表示每条边上都至少有一个格子被染色的u行v列的矩阵,其通过上下翻转保持不变的染色方案数。

    G4uv  表示每条边上都至少有一个格子被染色的u行v列的矩阵,其通过左右翻转保持不变的染色方案数。

    G5uv  表示每条边上都至少有一个格子被染色的u行u列的矩阵,其通过沿某条对角线翻转保持不变的染色方案数。

    求得所有的G值,F值就只需套用引理即可。而的求法也都大同小异。

  • 求法:容斥原理!!!

    就是应用容斥原理,将所有格子任意染色,减去第一行或者第u行或者第一列或者第v列没染色,再加上第1行和第u行均未染色……即:

    

    

    旋转180度不变,实际上就是前个格子任意染色,然后剩下的格子染色情况则由这些格子旋转得到,同样需要应用容斥原理:

    

    旋转90度或者270度,则是由左上角的个格子任意染色,然后剩下的格子染色情况则由这些格子旋转得到,同样需要应用容斥原理:

    

    上下翻转,则是由上半部分的个格子任意染色,然后剩下的格子染色情况则由这些格子旋转得到,同样需要应用容斥原理:

    

    左右翻转,则是由半边部分的个格子任意染色,然后剩下的格子染色情况则由这些格子旋转得到,同样需要应用容斥原理:

    

    

    沿对角线翻转,则是由对角线上面部分的个格子任意染色,然后剩下的格子染色情况则由这些格子旋转得到,同样需要应用容斥原理:

    

    

 

    完美解决!!!

    参考文献: 《Puncher》解题报告


 #include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll ans;
int n,m;
int read()
{
int x=,f=; char ch;
while (ch=getchar(),ch<''||ch>'') if (ch=='-') f=-;
while (x=x*+ch-'',ch=getchar(),ch>=''&&ch<='');
return x*f;
}
ll ksm(ll x,int k)
{
ll res=;
for (int i=k; i; i>>=,x*=x) if (i&) res*=x;
return res;
}
ll get0(int u,int v)
{
ll res=;
res=ksm(,u*v)
-ksm(,(u-)*v)*-ksm(,u*(v-))*
+ksm(,(u-)*(v-))*+ksm(,(u-)*v)+ksm(,u*(v-))
-ksm(,(u-)*(v-))*-ksm(,(u-)*(v-))*
+ksm(,(u-)*(v-));
return res;
}
ll get1(int u,int v)
{
ll res=;
res=ksm(,ceil(u*v/2.0))
-ksm(,ceil(u*v/2.0)-u)-ksm(,ceil(u*v/2.0)-v)
+ksm(,ceil(u*v/2.0)-u-v+);
return res;
}
ll get2(int u,int v)
{
ll res=;
res=ksm(,ceil(u*v/4.0))-ksm(,(ceil(u*v/4.0)-u+));
return res;
}
ll get3(int u,int v)
{
ll res=;
res=ksm(,ceil(u/2.0)*v)
-ksm(,ceil(u/2.0)*(v-))*-ksm(,(ceil(u/2.0)-)*v)
+ksm(,ceil(u/2.0)*(v-))+ksm(,(ceil(u/2.0)-)*(v-))*
-ksm(,(ceil(u/2.0)-)*(v-));
return res;
}
ll get4(int u,int v)
{
ll res=;
res=ksm(,u*ceil(v/2.0))
-ksm(,(u-)*ceil(v/2.0))*-ksm(,u*(ceil(v/2.0)-))
+ksm(,(u-)*ceil(v/2.0))+ksm(,(u-)*(ceil(v/2.0)-))*
-ksm(,(u-)*(ceil(v/2.0)-));
return res;
}
ll get5(int u,int v)
{
ll res=;
res=ksm(,u*(u+)/2.0)-ksm(,(u-)*u/2.0)*+ksm(,(u-)*(u-)/2.0);
return res;
}
ll get(int u,int v)
{
ll res=;
if (v==)
{
if (u==) return ;
return (ksm(,u-)+ksm(,(u+)/2.0-))/2.0;
}
else
{
if (u==v)
{
res=(get0(u,v)+get1(u,v)+*get2(u,v)+get3(u,v)+get4(u,v)+*get5(u,v));
return res/;
}
else if (u>v)
{
res=(get0(u,v)+get1(u,v)+get3(u,v)+get4(u,v));
return res/;
}
}
}
int main()
{
n=read(); m=read();
for (int u=; u<=max(n,m); u++)
for (int v=; v<=min(u,min(n,m)); v++)
ans+=get(u,v);
printf("%lld\n",ans);
return ;
}

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