【poj3241】 Object Clustering

http://poj.org/problem?id=3241 (题目链接)

MD被坑了，看到博客里面说莫队要写曼哈顿最小生成树，我就写了一个下午。。结果根本没什么关系。不过还是把博客写了吧。

转自：http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908

题意

　　求曼哈顿距离最小生成树上第k大（第n-k小）的边

Solution

　　曼哈顿距离最小生成树问题可以简述如下：

　　给定二维平面上的${N}$个点，在两点之间连边的代价为其曼哈顿距离，求使所有点连通的最小代价。

　　朴素的算法可以用${O(N^2)}$的Prim，或者处理出所有边做Kruskal，但在这里总边数有${O(N^2)}$条，所以Kruskal的复杂度变成了${O(N^2*logN)}$。

　　但是事实上，真正有用的边远没有${O(N^2)}$条。我们考虑每个点会和其他一些什么样的点连边。可以得出这样一个结论，以一个点为原点建立直角坐标系，在每45度内只会向距离该点最近的一个点连边。

　　这个结论可以证明如下：假设我们以点${A}$为原点建系，考虑在${y}$轴向右45度区域内的任意两点${B(x_1,y_1)}$和${C(x_2,y_2)}$，不妨设${|AB|≤|AC|}$（这里的距离为曼哈顿距离），如下图： 
 
　　$${|AB|=x_1+y_1，|AC|=x_2+y_2，|BC|=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|}$$

　　而由于${B}$和${C}$都在${y}$轴向右45度的区域内，有${y-x>0且x>0}$。下面我们分情况讨论：

　　　　1.　${x_1>x_2}$且${y_1>y_2}$。这与${|AB|≤|AC|}$矛盾；

　　　　2． ${x_1≤x_2}$且${y_1>y_2}$。此时${|BC|=x_2-x_1+y_1-y_2，|AC|-|BC|=x_2+y_2-x_2+x_1-y_1+y_2=x_1-y_1+2y_2}$。由前面各种关系可得：${y_1>y_2>x_2>x_1}$。假设${|AC|<|BC|}$即${y_1>2y_2+x_1}$，那么${|AB|=x_1+y_1>2*x_1+2*y_2，|AC|=x_2+y_2<2*y_2<|AB|}$与前提矛盾，故${|AC|≥|BC|}$；

　　　　3． ${x_1>x_2}$且${y_1≤y_2}$。与2同理；

　　　　4． ${x_1≤x_2}$且${y_1≤y_2}$。此时显然有${|AB|+|BC|=|AC|}$，即有${|AC|>|BC|}$。

　　综上有${|AC|≥|BC|}$，也即在这个区域内只需选择距离${A}$最近的点向${A}$连边。

　　这种连边方式可以保证边数是${O(N)}$的，那么如果能高效处理出这些边，就可以用Kruskal在${O(NlogN)}$的时间内解决问题。下面我们就考虑怎样高效处理边。

　　我们只需考虑在一块区域内的点，其他区域内的点可以通过坐标变换“移动”到这个区域内。为了方便处理，我们考虑在${y}$轴向右45度的区域。在某个点${A(x_0,y_0)}$的这个区域内的点${B(x_1,y_1)}$满足${x_1≥x_0}$且${y_1-x_1>y_0-x_0}$。这里对于边界我们只取一边，但是操作中两边都取也无所谓。那么${|AB|=y_1-y_0+x_1-x_0=(x_1+y_1)-(x_0+y_0)}$。在${A}$的区域内距离${A}$最近的点也即满足条件的点中${x+y}$最小的点。因此我们可以将所有点按${x}$坐标排序，再按${y-x}$离散，用线段树或者树状数组维护大于当前点的${y-x}$的最小的${x+y}$对应的点（也就是维护区间最小值）。时间复杂度${O(NlogN)}$。

　　至于坐标变换，一个比较好处理的方法是第一次直接做${(R1==R5)}$；第二次沿直线${y=x}$翻转，即交换${x}$和${y}$坐标${(R2==R6)}$；第三次沿直线${x=0}$翻转，即将${x}$坐标取相反数${(R7==R3)}$；第四次再沿直线${y=x}$翻转${(R8==R4)}$。注意只需要做4次，因为边是双向的。 
 
　　至此，整个问题就可以在${O(NlogN)}$的复杂度内解决了。

代码

// poj3241
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<set>
#define MOD 1000000007
#define inf 2147483640
#define LL long long
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
inline LL getint() {
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch>'9' || ch<'0') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=10010;
struct point {
    int x,y,id;
    friend bool operator < (const point &a,const point &b) {
        return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
    }
}p[maxn];
struct data {
    int w,id;
    friend bool operator < (const data &a,const data &b) {
        return a.w<b.w;
    }
}a[maxn];
struct BIT {
    int pos,w;
    void init() {pos=-1;w=inf;}
}bit[maxn];
struct edge {
    int u,v,w;
    friend bool operator < (const edge &a,const edge &b) {
        return a.w<b.w;
    }
}e[maxn<<3];
int f[maxn],T[maxn],hs[maxn];
int cnt,n,K,ans,m;

int lowbit(int x) {return x&(-x);}
int find(int x) {
    return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
void kruskal() {
    int tot=0;
    sort(e+1,e+1+cnt);
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    for (int i=1;i<=cnt;i++) {
        int r1=find(e[i].u),r2=find(e[i].v);
        if (r1!=r2) f[r1]=r2,tot++;
        if (tot==K) {ans=e[i].w;break;}
    }
}
int query(int x,int m) {
    int M=inf,pos=-1;
    for (int i=x;i<=m;i+=lowbit(i))
        if (bit[i].w<M) M=bit[i].w,pos=bit[i].pos;
    return pos;
}
int dis(int a,int b) {
    return abs(p[a].x-p[b].x)+abs(p[a].y-p[b].y);
}
void update(int x,int M,int pos) {
    for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        if (M<bit[i].w) bit[i].w=M,bit[i].pos=pos;
}
void insert(int u,int v,int w) {
    e[++cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].w=w;
}
void caledge() {
    sort(p+1,p+1+n);
    for (int i=1;i<=n;i++) T[i]=hs[i]=p[i].y-p[i].x;
    sort(hs+1,hs+1+n);
    m=unique(hs+1,hs+1+n)-hs;
    for (int i=1;i<=m;i++) bit[i].init();
    for (int i=n;i>=1;i--) {
        int x=lower_bound(hs+1,hs+1+m,T[i])-hs+1;
        int pos=query(x,m);
        if (pos!=-1)
            insert(p[i].id,p[pos].id,dis(i,pos));
        update(x,p[i].x+p[i].y,i);
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&K);
    K=n-K;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y),p[i].id=i;
    for (int k=1;k<=4;k++) {
        if (k==2 || k==4)
            for (int i=1;i<=n;i++) swap(p[i].x,p[i].y);
        else if (k==3)
            for (int i=1;i<=n;i++) p[i].x=-p[i].x;
        caledge();
    }
    ans=1983548629;
    kruskal();
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}