51nod百度之星2016练习赛

今天看了看51nod发现有这样一个练习赛，就做了做。因为实力太弱想不出E题，各位神犇勿D。

(5.26UPD：E题想粗来了)

A 区间交

不难发现若干线段[li,ri]的交就是[max(li),min(ri)]，那么我们考虑枚举min(ri)，将ri>=min(ri)的区间按顺序加入，这时我们显然应该选第k小的li来更新答案。这些操作用个堆就可以轻松维护了。

时间复杂度为O(NlogN)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
int n,k,m;
struct Line {
	int l,r;
	bool operator < (const Line& ths) const {return r>ths.r;}
}A[maxn];
priority_queue<int> Q;
ll S[maxn];
int main() {
	n=read();k=read();m=read();
	rep(i,1,n) S[i]=S[i-1]+read();
	rep(i,1,m) A[i].l=read(),A[i].r=read();
	sort(A+1,A+m+1);
	rep(i,1,k) Q.push(A[i].l);
	ll ans=max(0ll,S[A[k].r]-S[Q.top()-1]);
	rep(i,k+1,m) {
		if(Q.top()>A[i].l) Q.pop(),Q.push(A[i].l);
		ans=max(ans,S[A[i].r]-S[Q.top()-1]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

B 中位数计数

开始没有看清题目：“求出每个数在多少个包含其的区间中是中位数”，所以我们只需考虑长度为奇数的区间就可以了。

那么对于每个数x求出答案就是一个经典问题了，<x的Ai设为-1，=x的Ai设为0，>x的Ai设为1，然后求一下有多少区间和为0就可以了。

时间复杂度为O(N^2)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=8010;
int n,A[maxn],B[maxn],S[maxn*2];
int main() {
	n=read();
	rep(i,1,n) A[i]=read();
	rep(i,1,n) {
		rep(j,1,n) {
			if(A[i]==A[j]) B[j]=0;
			else if(A[i]>A[j]) B[j]=1;
			else B[j]=-1;
			B[j]+=B[j-1];
		}
		int ans=0;
		memset(S,0,sizeof(S));
		for(int j=1;j<=n;j+=2) {
			S[B[j-1]+n]++;
			ans+=S[B[j]+n];
		}
		memset(S,0,sizeof(S));
		for(int j=2;j<=n;j+=2) {
			S[B[j-1]+n]++;
			ans+=S[B[j]+n];
		}
		printf("%d%c",ans,i==n?'\n':' ');
	}
	return 0;
}

C 瞬间移动

f[i][j]=ΣΣf[i`][j`](i`>=i+1,j`>=j+1)

f[i+1][j]=ΣΣf[i`][j`](i`>i+1,j`>=j+1)

f[i][j+1]=ΣΣf[i`][j`](i`>=i+1,j`>j+1)

f[i][j]=f[i+1][j]+f[i][j+1]-{ΣΣf[i`][j`](i`>i+1,j`>j+1)}+f[i+1][j+1]

=f[i+1][j]+f[i][j+1]

然后坐标变换一下就转化成f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]了，答案即为C(n+m-4,n-2)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=1010;
const int mod=1000000007;
ll pow(ll n,int m) {ll ans=1;for(;m;m>>=1,(n*=n)%=mod) if(m&1) (ans*=n)%=mod;return ans;}
int f[maxn][maxn];
ll C(int n,int m) {
	ll ans1=1,ans2=1;
	rep(i,n-m+1,n) (ans1*=i)%=mod;
	rep(i,1,m) (ans2*=i)%=mod;
	return ans1*pow(ans2,mod-2)%mod;
}
int main() {
	int n=read()-1,m=read()-1;
	printf("%lld\n",C(n+m-2,n-1));
	return 0;
}

D 区间的价值

对随机数据有这样一个性质：如果从位置1向后跳，每次跳到下一个值严格比这一个大的位置，期望跳O(logn)次就会终止。

所以我们可以枚举左端点，模拟右端点的跳跃同时维护当前[l,r]的Ai的最大值mx与最小值mn，用二分套ST表就可以O(logn)计算出下一个mx或mn值改变的位置，在这个区间内答案是不变的，只要在区间打上一个max标记就可以了，用线段树可以做到O(logn)，因为总跳越次数为O(nlogn)，时间复杂度为O(nlog^2n)。

但这道题有点卡常数，进一步观察得到答案是随长度不增的，所以更新答案时只需要前缀打个标记就行了，这样就可以省掉线段树的常数了。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=Getchar();
    for(;!isdigit(c);c=Getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=Getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
const int inf=2000000000;
int n,A[maxn];
int Log[maxn],minv[20][maxn],maxv[20][maxn];
void init() {
	Log[0]=-1;rep(i,1,n+1) Log[i]=Log[i>>1]+1;
	rep(i,1,n) minv[0][i]=maxv[0][i]=A[i];
	minv[0][n+1]=-inf;maxv[0][n+1]=inf;
	for(int j=1;(1<<j)<=n+1;j++)
		for(int i=1;i+(1<<j)<=n+2;i++) {
			minv[j][i]=min(minv[j-1][i],minv[j-1][i+(1<<j-1)]);
			maxv[j][i]=max(maxv[j-1][i],maxv[j-1][i+(1<<j-1)]);
		}
}
int query(int l,int r,int t) {
	int k=Log[r-l+1];
	if(!t) return min(minv[k][l],minv[k][r-(1<<k)+1]);
	return max(maxv[k][l],maxv[k][r-(1<<k)+1]);
}
int getmn(int l,int val) {
	int r=n+1,mid,p=l;
	while(l<r) if(query(p,mid=l+r>>1,0)<val) r=mid; else l=mid+1;
	return l;
}
int getmx(int l,int val) {
	int r=n+1,mid,p=l;
	while(l<r) if(query(p,mid=l+r>>1,1)>val) r=mid; else l=mid+1;
	return l;
}
ll ans[maxn];
int main() {
	n=read();rep(i,1,n) A[i]=read();
	init();int cnt=0;
	rep(l,1,n) {
		int mx=A[l],mn=A[l],r=l;
		while(r<=n) {
			int p=min(getmn(r+1,mn),getmx(r+1,mx));
			cnt++;ans[p-l]=max(ans[p-l],(ll)mx*mn);
			r=p;mn=min(mn,A[r]);mx=max(mx,A[r]);
		}
	}
	dwn(i,n,1) ans[i]=max(ans[i],ans[i+1]);
	rep(i,1,n) printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}

E 刷题计划

一般来说，这类二维乘积最小的问题都可以通过类似二维乘积最小生成树的方法解决。

对于一个代码量之和=x，无聊值之和=y的方案，我们将（x,y）这个点放到平面直角坐标系上，那么整个问题的答案可以看成一个关于x的函数。

不难证明，最优方案只有可能是下凸壳上的点（用反比例函数）。

那么我们可以使用分治算法来解决这个问题，如果我们已经找到了两个决策点A、B，且A在B的左上方，我们每次只需找到一个在线段AB下方的凸点P，进一步分析问题可得，我们选与在AB垂线上投影尽量短的向量OP即可。如果找到了我们就可以分治子问题了。

那么这样的点怎么找呢？因为向量和的内积=向量内积的和，我们将每个物品的价值变成向量(bi,ci)在AB垂线上的射影长度，之后就是经典的背包问题，做一次简单的DP就可以得到方案了。

时间复杂度为期望O(sqrt(N)*N*M)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
using namespace std;
inline int read() {
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int maxn=410;
const int maxm=810;
int n,m,M,A[maxn];
typedef long long ll;
struct Point {
	ll x,y;
};
double w[maxn],f[maxn][maxm];
ll ans,B[maxn],C[maxn];
int use[maxn],g[maxn][maxm];
double cal(Point a,Point b) {
	ll k=a.x*b.x+a.y*b.y;
	return (double)k/sqrt(b.x*b.x+b.y*b.y);
}
void print(int i,int j) {
	if(!i) return;
	if(g[i][j]) use[i]=1,print(i-1,j-A[i]);
	else use[i]=0,print(i-1,j);
}
void work(Point P1,Point P2) {
	Point k=(Point){P1.y-P2.y,P2.x-P1.x};
	f[0][0]=0;rep(i,1,M) f[0][i]=1e100;
	rep(i,1,n) {
		w[i]=cal((Point){B[i],C[i]},k);
		rep(j,0,M) {
			if(j<A[i]||f[i-1][j]<f[i-1][j-A[i]]+w[i]) f[i][j]=f[i-1][j],g[i][j]=0;
			else f[i][j]=f[i-1][j-A[i]]+w[i],g[i][j]=1;
		}
	}
	int x=m;
	rep(i,m+1,M) if(f[n][i]<f[n][x]) x=i;
	print(n,x);
	ll s1=0,s2=0;
	rep(i,1,n) if(use[i]) s1+=B[i],s2+=C[i];
	ans=min(ans,s1*s2);
	if(P1.x==s1&&P1.y==s2) return;
	if(P2.x==s1&&P2.y==s2) return;
	work(P1,(Point){s1,s2});work((Point){s1,s2},P2);
}
int main() {
	n=read();m=read();
	rep(i,1,n) M+=(A[i]=read()),B[i]=read(),C[i]=read();
	ans=1ll<<60;work((Point){0,1e9},(Point){1e9,0});
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

F 货物运输

设传送站分别设在x和y，且x<y。

考虑二分答案ans，将所有R[i]-L[i]>ans的路线拿出来，那么|L[i]-x|+|R[i]-y|<=ans。

将所有的(L[i],R[i])作为平面的点，那么问题就转化成在平面中寻找一个点P，满足P到其他的点的曼哈顿距离均<=ans。

坐标变换一下（将(x,y)变换成(x-y,x+y)）将曼哈顿距离转化成切比雪夫距离，然后直接维护矩形交就行了。

时间复杂度为O(NlogN)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
const int BufferSize=1<<16;
char buffer[BufferSize],*head,*tail;
inline char Getchar() {
	if(head==tail) {
		int l=fread(buffer,1,BufferSize,stdin);
		tail=(head=buffer)+l;
	}
	return *head++;
}
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=Getchar();
    for(;!isdigit(c);c=Getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=Getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int maxn=500010;
const int inf=1e9;
int n,m,L[maxn],R[maxn];
int check(int d) {
	int x1=-inf,y1=-inf,x2=inf,y2=inf;
	rep(i,1,m) if(R[i]-L[i]>d) {
		int X1=L[i]-R[i]-d,Y1=L[i]+R[i]-d,X2=L[i]-R[i]+d,Y2=L[i]+R[i]+d;
		if(x2<X1||x1>X2) return 0;
		else x1=max(x1,X1),x2=min(x2,X2);
		if(y2<Y1||y1>Y2) return 0;
		else y1=max(y1,Y1),y2=min(y2,Y2);
	}
	return 1;
}
int main() {
	n=read();m=read();int l=0,r=n,mid;
	rep(i,1,m) {
		L[i]=read();R[i]=read();
		if(L[i]>R[i]) swap(L[i],R[i]);
	}
	while(l<r) if(check(mid=l+r>>1)) r=mid; else l=mid+1;
	printf("%d\n",l);
	return 0;
}

G 带可选字符的多字符串匹配

比较坑的是模式串可能有空格。

打个暴力结果不小心A了（不知所措），求神犇题解。。。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
typedef long long ll;
const int maxn=2100010;
char s[maxn],tmp[310];
int n;
ll A[610];
int id(char c) {
	if(isdigit(c)) return c-'0';
	if(c>='a'&&c<='z') return c-'a'+10;
	if(c>='A'&&c<='Z') return c-'A'+36;
	return 63;
}
int main() {
	char c=getchar();int m=0;
	while(c!='\n') s[++m]=c,c=getchar();
	n=read();
	rep(i,1,n) {
		int k=read();
		if(k) scanf("%s",tmp);
		rep(j,0,k-1) A[i]|=1ll<<id(tmp[j]);
	}
	int is=0;
	for(int i=1;s[i+n-1];i++) {
		int ok=1;
		rep(j,1,n) if(!(A[j]>>id(s[i+j-1])&1)) {ok=0;break;}
		if(ok) printf("%d\n",i),is=1;
	}
	if(!is) puts("NULL");
	return 0;
}