10.12 csp-s模拟测试70 木板+打扫卫生+骆驼

T1 木板

求$[\sqrt{n},n)$间有多少个数的平方是n的倍数

通过打表可以发现（我没带脑子我看不出来），符合条件的数构成一个等差数列，公差为首项

而首项就是将n质因数分解后每个质因数出现次数除二，向上取整，这个数一定是大于$\sqrt{n}$的最小的符合条件的数

$\sqrt{n}$将$n$分解质因数后求出首项，$(n-1)/$首项就是小于$n$里有几个，即答案

积累：$papa$大神教我，打表之前先猜规律，用小点看看猜的对不对，然后再用大点验证，想不出来的数学题就打打表，找找规律

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans,z[],cnt,num[];
ll read()
{
    ll aa=,bb=;char cc=getchar();
    while(cc>''||cc<''){if(cc=='-') bb=-;cc=getchar();}
    while(cc<=''&&cc>=''){aa=(aa<<)+(aa<<)+(cc^'');cc=getchar();}
    return aa*bb;
}
void devide(ll x)
{
    ll xx=sqrt(x);
    for(ll i=;i<=xx;i++){
        if(x%i==){
            z[++cnt]=i;num[cnt]=;
            while(x%i==) x/=i,num[cnt]++;
        }
    }
    if(x>) z[++cnt]=x,num[cnt]=;
}
ll quick(ll x,ll p)
{
    ll as=;
    while(p){
        if(p&) as=as*x;
        x=x*x;
        p>>=;
    }
    return as;
}
int main()
{
    while(){
        n=read();ans=;cnt=;
        if(!n) break;
        devide(n);
        for(ll i=;i<=cnt;i++) ans*=quick(z[i],(num[i]+)/);
        printf("%lld\n",(n-)/ans*);
    }
    return ;
}

木板

T2 打扫卫生

首先肯定是$dp$

考场写的是$n^2$的，每次用桶把$a[j]$的贡献减去，更新答案，最后再循环一遍都加回来，$T60$

但我们发现如果不同的数的个数大于了$\sqrt{n}$，那么他一定不优（大于$\sqrt{n}$，那还不如一段就一个，这样就只有$n$）

所以我们可以在往回加的时候特判，如果$cnt$大于$\sqrt{n}$，那就记录下这个位置，然后$break$，下次循环就只从$pos$循环就行了，加上这个减枝可以到$T80$

正解：$cnt$一定小于$\sqrt{n}$，那么我们枚举i前不同的数的个数，复杂度就降到了$O(n\sqrt{n})$

用$pre[a[i]]$记录$a[i]$上次出现的位置，$b[j]$表示从$b[j]+1~i$一共有$j$个不同的数，$c[j]$表示从$b[j]+1~i$有多少个不同的数

$i++$后，如果$pre[a[i]]<=j$，说明$a[i]$在$b[j]+1~i-1$这一段没有出现过，所以$b[j]+1~i$这一段中不同数的个数就变成了$c[j]+1$，更新$c[j]$

如果$c[j]>j$，我们为了维护$c[j]==j$，就需要调整$b[j]$的位置，使$b[j]$合法

设$pos=b[j]+1$（原位置），如果$pre[a[pos]]>pos$说明在后面还有一个$a[pos]$，那么删掉这个对个数没有影响，直到$pre[a[pos]]<=pos$，那么删掉这个数，$pos+1～i$这个区间就正好有$j$个数了，更新$b[j]=pos$，$c[j]=j$，同时更新$f[i]$数组

积累：没有思路想$dp$，优化的时候找$dp$的瓶颈，看是否能用一些数据结构或多记一些东西突破他

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,nn,a[],b[],c[],pre[],f[];
int read()
{
    int aa=,bb=;char cc=getchar();
    while(cc>''||cc<''){if(cc=='-') bb=-;cc=getchar();}
    while(cc>=''&&cc<=''){aa=(aa<<)+(aa<<)+(cc^'');cc=getchar();}
    return aa*bb;
}
int main()
{
    n=read();m=read();nn=sqrt(n);
    for(int i=;i<=n;i++) a[i]=read();
    memset(pre,-,sizeof(pre));
    for(int i=;i<=n;i++){
        f[i]=f[i-]+;
        for(int j=;j<=nn;j++)
            if(pre[a[i]]<=b[j]) c[j]++;
        pre[a[i]]=i;
        for(int j=;j<=nn;j++){
            if(c[j]>j){
                int pos=b[j]+;
                while(pre[a[pos]]>pos) pos++;
                b[j]=pos;c[j]--;
            }
            f[i]=min(f[i],f[b[j]]+j*j);
        }
    }
    printf("%d\n",f[n]);
    return ;
}

打扫卫生

T3 骆驼

咕咕咕