(ML邹博)回归

目录

• 线性回归
  • 高斯分布
  • 最大似然估计
  • 最小二乘法的本质
• Logistic回归
• 工具
  • 梯度下降算法
  • 最大似然估计

线性回归

对于单个变量：

y=ax+b

对于多个变量：

使用极大似然估计解释最小二乘法

\(y^{(i)}=\theta^{T}x^{(i)}+\varepsilon^{(i)}\)

误差\(\varepsilon^{(i)}(1\le i\le m)\)是独立同分布的，服从均值为0，方差为某定值\(\sigma^{2}\)的高斯分布。

原因：中心极限定理

中心极限定理的意义

在实际问题中，很多随机现象可以看做众多因素独立影响的综合反应，往往近似服从正态分布。

• 应用前提是多个随机变量的和，有些问题是乘性误差，则需要鉴别或者取对数后使用。

似然函数

\(y^{(i)}=\theta^{T}x^{(i)}+\varepsilon^{(i)}\)

高斯的对数似然与最小二乘

\(\theta\)的解析式求解过程

将M个N维样本组成矩阵X:

• x的每一行对应一个样本，共M个样本(measurements)
• X的每一列对应样本的一个维度，共N维(regressors)
  • 还有额外的一维常数项，全为1

目标函数

梯度

最小二乘意义下的系数最优解

参数的解析式：

加入\(\lambda\)扰动后：

\(X^TX\)半正定：对于任意非零向量u

所以，对于任意实数\(\lambda>0\)，\(X^TX+\lambda I\)正定，从而可逆，保证回归公式有意义。

线性回归的复杂度惩罚因子

线性回归的目标函数为：

将目标函数增加平方和损失；

本质即为假定参数\(\theta\)服从高斯分布。