洛谷3571 POI2014 SUP-Supercomputer （斜率优化）

一道神仙好题。

首先看到有多组\(k\)，第一反应就是离线。

考虑贪心。

我们每次一定是尽量选择有儿子的节点。以便于我们下一次扩展。

但是对于一个\(k\)，每次贪心的复杂度是\(O(n)\)

总复杂度是\(O(nq)\)，肯定过不了。

qwq

那我们只能来考虑一个快速求一个\(k\)的答案。

感觉题解的柿子好神仙啊。

这里定义\(f[i]\)表示\(k=i\)的时候的最小次数。

\(sum[i]\)表示深度大于等于\(i\)的点有多少个。

则$$f[i]=max(j+\lceil \frac{sum[j+1]}{i} \rceil)$$

含义是用了\(i\)次把全\(i\)层都取掉，然后剩下的每次都能取满。

qwq现在来解释一下为什么是这个柿子。

首先，比较容易证明答案一定在所有的\((j+\lceil \frac{sum[j+1]}{i} \rceil\)中，因为这已经是最优情况了（前i次最多取i层，而后面也是每次取满，所以一定是最优的情况，不存在更优秀的情况。）

那么为什么是要取\(max\)呢。

是为了避免不合法的情况。

这里不合法的情况有两种情况，首先是前\(i\)次取不满\(前i层\)。那么如果存在这个情况，一定存在\(j\)使得，前\(j\)层能够\(j\)次取满，但是\(j到i\)不能用\(j-i\)取满，则存在等式

\[\lceil \frac{sum[j+1]}{k} \rceil > \lceil \frac{sum[i+1]}{k} \rceil + (i-j)
\]

\[\lceil \frac{sum[j+1]}{k} \rceil + j> \lceil \frac{sum[i+1]}{k} \rceil + i
\]

那么取\(max\)，这种不合法的情况就能排除。

另一种不合法的情况就是，后面的次数并不能每次都取满。

如果上面的情况合法，那么一定存在$$\lceil \frac{sum[i+1]-sum[i+x+1]}{k} \rceil + i+x+1 > \lceil \frac{sum[i+1]}{k} \rceil + i$$

因为存在一层满足不能够一次用满k，且没有多余的东西让他选，那这时候等式左边的\(i+x+1\)等于该层的时候，一定比原本的柿子更大。

至于为什么不存在一个小于\(max\)并且合法的情况，是因为一层最少需要一次。而如果存在\(min\)，说明要满足用小于\(j\)次，选完\(j\)层，而这个东西是不可能的。

qwq

那么证明到这里，大概能说明上述的柿子的是对的了。

也就是

\[f[i]=max(j+\lceil \frac{sum[j+1]}{i} \rceil)
\]

那接下来应该怎么优化呢。

我们将上述柿子进行变形

\[f[i]=max(\lceil \frac{j\times i+ sum[j+1]}{i} \rceil)
\]

那么如果存在一个\(j>k\)且\(j比k\)优秀的话，应该满足

\[j\times i + sum[j+1] > k \times i + sum[k+1]
\]

经过化简，$$\frac{sum[j+1]-sum[k+1]}{j-k}>-i$$

直接上斜率优化就好

\(sum\)数组可以直接通过前缀和求出来

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 1e6+1e2;
int sum[maxn];
int n,m;
int point[maxn],nxt[maxn],to[maxn];
int cnt;
int deep[maxn];
int dp[maxn];
int a[maxn];
void addedge(int x,int y)
{
	nxt[++cnt]=point[x];
	to[cnt]=y;
	point[x]=cnt;
}
struct Point{
	ll x,y,num;
};
Point q[maxn];
ll chacheng(Point x,Point y)
{
	return x.x*y.y-x.y*y.x;
}
bool Count(Point i,Point j,Point k)
{
	Point x,y;
	x.x=k.x-i.x;
	x.y=k.y-i.y;
	y.x=k.x-j.x;
	y.y=k.y-j.y;
	if (chacheng(x,y)>=0) return true;
	return false;
}
int head=1,tail=0;
void push(Point x)
{
	while(tail>=head+1 && Count(q[tail-1],q[tail],x)) tail--;
	q[++tail]=x;
}
void pop(int lim)
{
	while(tail>=head+1 && q[head+1].y-q[head].y>lim*(q[head+1].x-q[head].x)) head++;
}
int mx;
void dfs(int x,int dep)
{
	deep[dep]++;
	mx=max(mx,dep);
	for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
	{
		int p = to[i];
		dfs(p,dep+1);
	}
}
int qq;
int main()
{
  n=read();qq=read();
  int ymh =0;
  for (int i=1;i<=qq;i++) a[i]=read(),ymh=max(ymh,a[i]);
  for (int i=2;i<=n;i++)
  {
  	 int x=read();
  	 addedge(x,i);
  }
  dfs(1,1);
  for (int i=mx;i>=0;i--)
  {
  	deep[i]+=deep[i+1];
  }
  for (int i=0;i<mx;i++)
    push((Point){i,deep[i+1],i});

  for (register int i=1;i<=ymh;++i)
  {
  	pop((-1)*i);
  	int now = q[head].num;
  	dp[i]=now+((deep[now+1]-1)/i)+1;
  }
  for (int i=1;i<=qq;i++) cout<<dp[a[i]]<<" ";
  return 0;
}