最大子序和：暴力->递归->动规->线段树

题目描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

LeetCode:53. 最大子序和

题解

显而易见的暴力解法

最容易想到的便是暴力穷举所有的子段和的开头，显而易见时间复杂度是O(n^2)。

代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        int n = nums.length;
        for(int i = 0;i < n;i++){//穷举所有的开头
            int thisSum = 0;
            for(int j = i;j < n;j++){//穷举当前开头的子段和
                thisSum += nums[j];
                maxSum = Math.max(maxSum,thisSum);
            }
        }
        return maxSum;
    }
}

不是那么难的分治解法

本题也是分治解法应用的一个典型例子。“分”即将数组分为前后两段求解，“治”即分别求两段的最大子段和，“合”即比较两段的最大子段和和跨段的子段和，取最大值。

代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return maxSub(nums, 0, nums.length - 1);
    }
    private int maxSub(int nums[], int left, int right){
        if (left == right){
            return nums[left];
        }
        int maxSum = 0;
        int middle = (left + right) / 2;
        int leftMaxSum = maxSub(nums, left, middle);//最半段最大子段和
        int rightMaxSum = maxSub(nums, middle + 1, right);//右半段最大子段和
        int leftRightSum = Integer.MIN_VALUE;//左半段以middle结尾的最大子段和
        int rightLeftSum = Integer.MIN_VALUE;//右半段以middle+1开头的最大子段和
        int thisLeftRightSum = 0;
        int thisRightLeftSum = 0;
        for(int j = middle;j >= left;j--){
            thisLeftRightSum += nums[j];
            leftRightSum = Math.max(leftRightSum,thisLeftRightSum);
        }
        for(int j = middle+1;j <= right;j++){
            thisRightLeftSum += nums[j];
            rightLeftSum = Math.max(rightLeftSum,thisRightLeftSum);
        }
        int crossMaxSum = leftRightSum + rightLeftSum;//跨段最大子段和
        if(crossMaxSum>leftMaxSum&&crossMaxSum>rightMaxSum){
            return crossMaxSum;
        }else{
            return Math.max(leftMaxSum,rightMaxSum);
        }
    }
}

时间复杂度分析：合的时间复杂度是O(n)，分的时间复杂度是2*T(n/2)。

则\(T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + O(n)\)。根据主定理， θ(f(n)) = θ(n) ，\(\log_b a = \log_2 2 = 1\)，两者渐进复杂度相当，故时间复杂度为θ(nlogn)。

巧妙的动态规划

暴力解法穷举所有的开头，那么我们可不可以穷举所有的结尾？

对于数组中的任意一个元素，他要么是某个子段和的结尾，要么自己单独成为子段。因此后面的状态可以由前面的状态得出，可以使用动态规划。

代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        int thisSum = 0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            //如果已经求得的子段和加上当前元素比当前元素还小，说明前面求得的子段和没有意义
            //那么子段和应更新为当前元素
            thisSum = Math.max(nums[i],thisSum+nums[i]);
            maxSum = Math.max(maxSum,thisSum);
        }
        return maxSum;
    }
}

时间复杂度分析：只遍历一遍数组，时间复杂度为O(n)，辅助空间为常数空间O(1)。

更加复杂的递归，线段树的隐用