FFT通过傅里叶级数图解频域补零时域内插

在时域频域的信号分析的过程中，一个常见的说法叫：频域数据补零会让时域数据内插。

意思是在频域数据中多补几个零，再做ifft(逆傅里叶变换)后的时域数据，会变得更加“细腻”，分辨率会更高。

关于频域补零让时域内插，我有一点朴素的理解：

1. 频域数据已经包含了所有正弦波的信息，IFFT解出的时域数据是否细腻，只能看时域数据的点数是否够多。
2. 做FFT/IFFT运算前后时域和频域的数据的点数是一样多的。

哦，是两点，基于这两点，我们只能把频域数据中原本不存在的高频信息中加上0，再转成时域信号，这样点数就够多呀。频域补零会让时域采样点增加。

基于这样朴素的认知，看看下面两张傅里叶级数的图：

补两个零：

以上，整个正弦波的周期时间没变，但是采样点多了，也就更"细腻"了。

这个网页的的源码在https://gist.github.com/kazad/8bb682da198db597558c

对于学习频域时域的直观感受有很强的帮助。但是因为众所周知的原因，里面的个别js脚本访问不了。我已经将其下载好，放在github地址: https://github.com/Binfun/fourier_transform

如果补的零再增加的话，那么这些点数就慢慢趋近于一个正常的正弦波了：

通过以上示例，仅仅是直观地理解频域补零->时域插值是没有问题的。

但是上面的例子还是有点儿“问题”

在FFT的世界中，上图的描述不准确，而是下图：

在实践过程中，对FFT后的频域结果，如果要补零则是补在中间（高频补零），再进行IFFT(逆傅里叶变换)转成时域。 知道这句话则足够了，以下内容，则是我对于这个现象的朴素的解释。

这个时候我们又不得不拿出那个之前聊过的概念：负频率。

在上两图中，四个点的频域数据，2HZ和-2Hz是一回事，3Hz和-1Hz也是一回事。就像观察一座山，3Hz是顺时针，分别从东南西北去观察，-1Hz是逆时针，分别从东北西南方向去看而已。

在DFT/FFT计算3Hz时，根据DFT的公式，会计算相位点(数字都会乘以2pi，为方便显示，以下省略2pi)：

[0，-3/4, -6/4， -9/4]。该序列可以看作是，顺时针依次递增3/4个2pi。所以它可以看做是3Hz。

将序列[0，-3/4, -6/4， -9/4]中的整数去掉，一个整数就代表一个2pi，一个2pi就代表转动了一圈回到原点。

会得到[0，-3/4, -2/4， -1/4]。这样看序列的话，逆时针依次增加1/4个2pi，所以它可以看做是 -1Hz 。

如果频域数据的点数是N，假设任意一个点的正频率表示为A，那么其负频率表示就是A-N。

那么为什么FFT之后的频域数据，前半部分是以正频率表示，后半部分以负频率表示呢？

我们对1Hz的频点取个30度的初始相位(以1:30表示)，然后在后面补零，此刻它是1Hz的正弦波：

我们对序列[0 1:30]中间插18个0，即数字1在序列的最后一位，此时序列有20个频点，最后一个频点正频率的角度是19Hz，负频率的角度是-1Hz。我们现在观察下图黄点连成的线，此刻它是一个 -1Hz的正弦波，并且也是30度的初始相位，而并非是19Hz。

可以把上面两张图结合起来看：

最后基于以上的实验，我朴素地再理解一下，在FFT的世界中，无法支撑起大于等于总点数一半的正频率，所以前半部分是正频率，后半部分是负频率。而高频的判断标准是其绝对值，所以高频在中间。