20210807 Smooth,Six,Walker

考场

开题，感觉 T1 很像 dky 讲过的一道中北大学 ACM 题，T3 一看就是随机化，具体不知道怎么做。

T1 sb 题，直接取当前最小的光滑数，把它乘一个质因子放入候选集。类似《蚯蚓》开 B 个队列即可，\(O(KB)\)。

T3 推出了四元二次方程组，不会解。。。考虑过枚举 \(s\)。

T2 貌似可以状压？两个质因子的情况特判就行了。

7.40 开始写 T1，最初 RE 了，加上判断队列为空就过了所有样例，看一眼才 8.00？想了想没什么可写挂挂的地方，时间又开了 \(2\)s，不管了。

T3 想了一会突然想到可以把 \(scale\times\sin(\theta),scale\times\cos(\theta)\) 看作两个变量，那就变成了四元一次方程。随便找两个点是正确的概率为 \(\frac 34\)，跑个 \(30\) 次应该没问题，后来发现它没说无解怎么办，那直接 for(;;) 就行了。当时以为高斯消元的复杂度和 \(O(n)\) 检验是乘起来的，于是决定手解方程。推了两个未知数式子就很恶心了，准备以后再说。

写完过了小样例，测速发现 T 了，而且很久跑不出来，先去写了 T2 部分分，期间因为除以 \(0\) 和质因子大于 \(\sqrt n\) 死过

回来看 T3，还是跑不出来，怀疑假了。重拿一张草稿纸完整地过了一遍，确定没问题，开始卡常数，但还是过不去。当时加了一句剪枝：若从 \(\sin,\cos\) 算出的 \(\theta\) 不一样就跳过，删了就能跑出来，但没有细想。。。

res

rk4 100+12+60

T1 开 \(1s\) 都可以

T2 在 \(n\) 是质数时挂了，其他情况未知

T3 就是正解，WA 了。

rk1 yzf 100+76+30

rk2 李嘉明 50+56+90

反思

考场上思考方式还是有问题，T2 T3 都出现过错误的类似情况，但只想到了体现出来的部分，没有细想，这也是依赖 gdb 带来的后果。

6 月的时候算是减少了 gdb 的使用，但还是不够，尽量少调试，多肉眼观察。

思考的时候也要深入，不要局限在眼下，要联想到其他情况/算法

Smooth

考场代码

int k,b;

const int p[] = {0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47};
queue<LL> que[16];

int find() {
	int res = 1;
	For(i,2,b) if( !que[i].empty() && que[i].front() < que[res].front() ) res = i;
	return res;
}

signed main() {
//	freopen("a.in","r",stdin);
//	freopen("a.out","w",stdout);
	read(b,k);
	que[1].push(1);
	while( --k ) {
		int u = find(); LL val = que[u].front(); que[u].pop();
		For(i,u,b) que[i].push(val*p[i]);
//		printf("@ %lld\n",val);
	}
	write(que[find()].front());
	return iocl();
}

Six

爆搜+记忆化就能过

状态是一个三元组：序列长度 \(l\)，序列中有的质因子集合 \(s\)，在不同数中出现过的质因子对（可能一对的两个质因子相同）集合 \(t\)。

解释一下 \(t\)：不同数是为了避免同一个数标记了好几个质因子，质因子对是为了避免新加入数的质因子分布在前面不同的数中

说不太清楚，可以手模一下下面的序列（插入最后一个数）：

\(6,6\) 合法

\(2,3,6\) 非法

\(6,2,3\) 合法

关于复杂度：\(n\) 的约数个数是 \(10^4\) 级别的，长度上界是 \(12\)，而每个长度的状态数看似是 \(2^6\times2^{\binom62+6}\)，但实际上约为 \(50000\)——官方sol。不会算，只会爆搜证明。

code

这份代码经过卡常复杂度瓶颈已经不在 dfs，而是分解质因数和预处理约数。

#define int unsigned
#define LL ULL
const int N = 1e6, mod = 1e9+7;
LL n;

int cnt=-1,m,po;
LL p[7],c[7],d[N],state[N],id[7][7];
unordered_map<int,int> vis[14][1<<7];

int dfs(int l,int s,LL t) {
	if( vis[l][s][t] ) return vis[l][s][t];
	int res = 1;
	For(i,1,m) {
		LL tt = t;
		For(j,0,cnt) if( state[i] & (1<<j) )
			For(k,j,cnt) if( state[i] & (1<<k) && (t & id[j][k]) ) goto TO;
		For(j,0,cnt) if( state[i] & (1<<j) )
			For(k,0,cnt) if( s & (1<<k) ) tt |= id[j][k];
		res += dfs(l+1,s|state[i],tt);
		if( res >= mod ) res -= mod;
		TO:;
	}
	return vis[l][s][t] = res;
}

signed main() {
	id[0][0]=1,id[0][1]=2,id[0][2]=4,id[0][3]=8,id[0][4]=16,id[0][5]=32,
	id[1][0]=2,id[1][1]=64,id[1][2]=128,id[1][3]=256,id[1][4]=512,id[1][5]=1024,
	id[2][0]=4,id[2][1]=128,id[2][2]=2048,id[2][3]=4096,id[2][4]=8192,id[2][5]=16384,
	id[3][0]=8,id[3][1]=256,id[3][2]=4096,id[3][3]=32768,id[3][4]=65536,id[3][5]=131072,
	id[4][0]=16,id[4][1]=512,id[4][2]=8192,id[4][3]=65536,id[4][4]=262144,id[4][5]=524288,
	id[5][0]=32,id[5][1]=1024,id[5][2]=16384,id[5][3]=131072,id[5][4]=524288,id[5][5]=1048576;
	read(n);
	for(LL i = 2; i*i <= n; ++i) if( !(n % i) ) {
		d[++m] = i;
		if( n/i != i ) d[++m] = n/i;
	}
	d[++m] = n;
	while( n > 1 ) {
		++cnt;
		for(LL i = 2; i*i <= n; ++i) if( !(n % i) ) { p[cnt] = i; break; }
		if( !p[cnt] ) p[cnt] = n;
		for(; !(n % p[cnt]); n /= p[cnt]) ++c[cnt];
	}
	For(i,1,m) For(j,0,cnt) if( !(d[i] % p[j]) ) state[i] |= 1<<j;
	write(dfs(0,0,0)-1);
	return iocl();
}

DP by 沈子舜

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define uu unsigned
#define scanf abc=scanf
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
#define forg(i,x) for(int i=fir[x];i;i=nxt[i])
int abc;
typedef pair<int,int>pii;
typedef long long ll;
typedef uu long long ull;
typedef vector<int>VI;
inline int rd(int l,int r){return rand()%(r-l+1)+l;}

const int mod=1e9+7;
ll X;int m,v[7],n;
int zd[64],U;
bool cmp1(int x,int y){return zd[x]<zd[y];}
struct jg{
    int n,a[7];
    bool operator<(const jg&b)const{if(n!=b.n)return n<b.n;for(int i=1;i<=n;++i)if(a[i]!=b.a[i])return a[i]<b.a[i];return 0;}
    void px(){sort(a+1,a+n+1,cmp1);}
}oo[903];
int xl[7];
map<jg,int>mp;
void dfs(int z=(1<<m)-1,int d=0){
    if(!z){
        jg k;k.n=d;for(int i=1;i<=d;++i)k.a[i]=xl[i];
        oo[++n]=k;return;
    }
    int zz=z&-z;
    for(int i=z^zz;~i;--i){i&=z^zz;xl[d+1]=zz|i,dfs(z^(zz|i),d+1);}
}
ll dp[13][64][903],vv[64];
int gxh(int a[]){jg k;k.n=a[0];for(int i=1;i<=k.n;++i)k.a[i]=a[i];k.px();return assert(mp[k]),mp[k];}
int to(int a[],int z,int zz){
    static int b[7];int n=a[0],n1=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){int t=a[i]&zz;if(t)b[++n1]=t;}
    int t=z&zz;if(t)b[++n1]=t;
    b[0]=n1;return gxh(b);
}

int main(){
    scanf("%lld",&X);
    for(int i=0;i<64;++i)for(int j=5;~j;--j)if(i>>j&1)zd[i]=j;
    for(int i=2;1ll*i*i<=X;++i)if(X%i==0){
        int c=0;while(X%i==0)X/=i,++c;
        v[m++]=c;
    }
    if(X>1)v[m++]=1;
    U=(1<<m),--U;
    for(int i=0;i<(1<<m);++i)dfs(i);
    for(int i=1;i<=n;++i)mp[oo[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        jg o=oo[i];
        xl[0]=o.n;for(int j=1;j<=o.n;++j)xl[j]=o.a[j];
//        cout<<gxh(xl)<<endl;
        assert(gxh(xl));
    }
//    return 3;
    dp[0][0][1]=1;
    ll ans=0;
    vv[0]=1;for(int i=1;i<=U;++i){vv[i]=1;for(int j=0;j<m;++j)if(i>>j&1)vv[i]=vv[i]*v[j]%mod;}
    for(int t=0;t<=m*2;++t)for(int j=0;j<(1<<m);++j)for(int k=1;k<=n;++k)if(dp[t][j][k]){
        ans+=dp[t][j][k];
        jg o=oo[k];xl[0]=o.n;for(int i=1;i<=o.n;++i)xl[i]=o.a[i];
        for(int z=1;z<(1<<m);++z)if((z&j)==0){
            assert(vv[z]);
            int c=0,zz=0;for(int i=1;i<=o.n;++i)if(z&xl[i])++c;
            for(int i=1;i<=o.n;++i)zz|=z&xl[i];
            if(c<=1)(dp[t+1][j|zz][to(xl,z,U^zz)]+=dp[t][j][k]*vv[z])%=mod;
        }
    }
    --ans;
    ans=(ans%mod+mod)%mod;printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

Walker

只考虑一个 \(2\pi\) 范围。考场做法的问题是 \(\sin,\cos\) 会确定唯一的 \(\theta\)，但如果只用 asin 算的话有两个 \(\theta\) 都满足，因此有 \(\frac 12\) 的概率 WA。应该在算出 \(\theta\) 后检验一下 \(\cos\) 是否满足，不满足则乘 \(-1\)（高中三角函数知识）

code

直接在考场代码上改的，因此保留了卡常部分（其实不必要），非常丑陋

mt19937 mt(time(0));

const int N = 1e5+5;
int n;
struct Node { double sx,sy,tx,ty; } p[N];
#define sx(x) p[x].sx
#define sy(x) p[x].sy
#define tx(x) p[x].tx
#define ty(x) p[x].ty

const double eps = 1e-6, pi = acos(-1);
double s,th,dx,dy,a,b,f[6][6];
map<PII,bool> vis;

int rnd() { return mt()%n+1; }
bool equ(double x,double y) { return fabs(x-y) < eps; }

void work(int x,int y) {
	f[1][1]=-sy(x),f[1][2]=sx(x),f[1][3]=1,f[1][4]=0,f[1][5]=tx(x),
	f[2][1]=sx(x),f[2][2]=sy(x),f[2][3]=0,f[2][4]=1,f[2][5]=ty(x),
	f[3][1]=-sy(y),f[3][2]=sx(y),f[3][3]=1,f[3][4]=0,f[3][5]=tx(y),
	f[4][1]=sx(y),f[4][2]=sy(y),f[4][3]=0,f[4][4]=1,f[4][5]=ty(y);
	For(i,1,4) {
		int p = i;
		if( i < 4 ) {
			if( fabs(f[4][i]) > fabs(f[p][i])+eps ) p = 4;
			if( i < 3 ) {
				if( fabs(f[3][i]) > fabs(f[p][i])+eps ) p = 3;
				if( i < 2 ) if( fabs(f[2][i]) > fabs(f[p][i])+eps ) p = 2;
			}
		}
		if( p != i ) swap(f[i],f[p]);
		f[i][5] /= f[i][i], f[i][4] /= f[i][i];
		if( i <= 3 ) {
			f[i][3] /= f[i][i];
			if( i <= 2 ) {
				f[i][2] /= f[i][i];
				if( i <= 1 ) f[i][1] /= f[i][i];
			}
		}
		if( i != 1 ) rFor(k,5,i) f[1][k] -= f[1][i] * f[i][k];
		if( i != 2 ) rFor(k,5,i) f[2][k] -= f[2][i] * f[i][k];
		if( i != 3 ) rFor(k,5,i) f[3][k] -= f[3][i] * f[i][k];
		if( i != 4 ) rFor(k,5,i) f[4][k] -= f[4][i] * f[i][k];
	}
	a = f[1][5], b = f[2][5], dx = f[3][5], dy = f[4][5];
	s = sqrt(a*a+b*b), th = acos(b/s);
	if( !equ(sin(th)*s,a) ) th = -th;
}

signed main() {
//	printf("%.1lf\n\n",sin(0));
	// freopen("a.in","r",stdin);
	// freopen("c1.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	For(i,1,n) scanf("%lf%lf%lf%lf",&sx(i),&sy(i),&tx(i),&ty(i));
	shuffle(p+1,p+n+1,mt);
	for(int i,j;;) {
		do { i = rnd(), j = rnd(); } while( vis.count(MP(i,j)) );
		vis[MP(i,j)] = vis[MP(j,i)] = 1;
		work(i,j);
//		th = 2.687435, s = 3.306753, dx = 2580.976362, dy = 2063.148692;
		if( s < -eps || 10+eps < s ) continue;
		int ok = 0, k;
		for(k = 1; k+5 <= n; k += 6) {
			if( equ(-a*sy(k)+b*sx(k)+dx,tx(k)) && equ(a*sx(k)+b*sy(k)+dy,ty(k)) ) ++ok;
			if( equ(-a*sy(k+1)+b*sx(k+1)+dx,tx(k+1)) && equ(a*sx(k+1)+b*sy(k+1)+dy,ty(k+1)) ) ++ok;
			if( equ(-a*sy(k+2)+b*sx(k+2)+dx,tx(k+2)) && equ(a*sx(k+2)+b*sy(k+2)+dy,ty(k+2)) ) ++ok;
			if( equ(-a*sy(k+3)+b*sx(k+3)+dx,tx(k+3)) && equ(a*sx(k+3)+b*sy(k+3)+dy,ty(k+3)) ) ++ok;
			if( equ(-a*sy(k+4)+b*sx(k+4)+dx,tx(k+4)) && equ(a*sx(k+4)+b*sy(k+4)+dy,ty(k+4)) ) ++ok;
			if( equ(-a*sy(k+5)+b*sx(k+5)+dx,tx(k+5)) && equ(a*sx(k+5)+b*sy(k+5)+dy,ty(k+5)) ) ++ok;
		}
		for(; k <= n; ++k) if( equ(-a*sy(k)+b*sx(k)+dx,tx(k)) && !equ(a*sx(k)+b*sy(k)+dy,ty(k)) ) ++ok;
		if( ok < (n+1)/2 ) continue;
//		printf("@ %.3lf %.3lf\n",a,b);
		printf("%.12lf\n%.12lf\n%.12lf %.12lf",th,s,dx,dy);
		return 0;
	}
}