1. 线性回归

  回归(regression)问题指一类为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的方法,通常用来表示输入和输出之间的关系。

  机器学习领域中多数问题都与预测相关,当我们想预测一个数值时,就会涉及到回归问题,如预测房价等。(预测不仅包含回归问题,还包含分类问题)

  线性回归(Linear Regression),自变量 $\textbf x$ 与因变量 $y$ 之间的关系是线性的,即 $y$ 可以表示为 $\textbf x$ 中元素的加权和。

  我们用 $n$ 来表示数据集中的样本数,对索引为 $i$ 的样本,其输入表示为 $\textbf x^{\left ( i \right )}= \begin{bmatrix} x_{1}^{\left ( i \right )} & x_{2}^{\left ( i \right )}\end{bmatrix}^T$ ,其对应的标签为 $y^{\left ( i \right )}$ 。(这里的输入 $\textbf x$ 包含2个特征)

2. 线性模型

2.1 一个简化模型

  假设1:影响房屋价格的关键因素是卧室个数、卫生间个数、居住面积,记为 $x_{1}$ ,$x_{2}$ ,$x_{3}$ 。

  假设2:房屋价格 $y$ 是关键因素的加权和,$y=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+w_{3}x_{3}+b$ 。

  上式中的 $x_{1}$ ,$x_{2}$ ,$x_{3}$ 称为特征, $w_{1}$ , $w_{2}$ , $w_{3}$ 称为权重(weight),$b$ 称为偏置(bias),或偏移量、截距。权重决定了每个特征对我们预测值的影响。偏置是指所有特征为0时,预测值应为多少。既是现实中不会有房子居住面积为 $0$ ,或者没有卧室,但我们仍需要偏置项,因为它拓展了模型的表达能力。

2.2 线性模型

  给定一个数据集,我们的目标是寻找模型的权重 $\textbf w$ 和偏置 $b$ ,使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。

  当输入包含 $d$ 个特征时,我们将预测结果 $\hat{y}\in\mathbb{R}$ 表示为:

$$\hat{y}=w_{1}x_{1}+\cdots+w_{d}x_{d}+b$$

  我们用向量使表示更简洁,特征向量 $\textbf x\in\mathbb{R}^{d}$ ,权重向量 $\textbf w\in\mathbb{R}^{d}$ ,偏置 $b\in\mathbb{R}$ ,即:

$$\textbf x=\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{d} \end{bmatrix}^T , \textbf w=\begin{bmatrix}w_{1} & w_{2} & \cdots & w_{d} \end{bmatrix}^T , b$$

  该模型可以用点积式表示:

$$\hat{y}=\textbf w^{T}\textbf x+b$$

  

  上式中,向量 $\textbf x$ 仅对应于单个数据样本的特征,我们使用 $\textbf X\in\mathbb{R}^{n\times d}$ 来表示整个数据集的 $n$ 个样本。 $\textbf X$ 的每一行是一个样本,每一列是一种特征。

  对于特征集合 $\textbf X$ ,预测值向量 $\hat{\textbf y}\in\mathbb{R}^{n}$ 可以通过矩阵-向量乘法表示为:

$$\hat{\textbf y}=\textbf X\textbf w+b$$

  在开始寻找最优的模型参数 $\textbf w$ 和 $b$ 之前,我们还需要了解:模型质量的度量方式、更新和优化模型参数的方法。

3. 损失函数——平方损失

  损失函数可以量化目标的真实值和预测值之间的差距。通常使用非负数作为损失,数值越小表示损失越小,完美预测时为 $0$ 。回归问题中最常用的损失函数就是平方损失函数。

  当样本 $i$ 的预测值为 $\hat{y}^{\left ( i \right)}$ ,其对应的真实标签为 $y^{\left ( i \right)}$ 时,平方损失可以表示为:

$$l^{\left ( i \right)}\left ( \textbf w,b \right)=\frac{1}{2}\left( \hat{y}^{\left ( i \right)}-y^{\left ( i \right)}\right)^{2}$$

  $\frac{1}{2}$ 是为了求导方便。

  为了度量模型在整个数据集上的质量,我们计算在训练集上 $n$ 个样本的损失均值:

$$L\left( \textbf w,b \right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}l^{\left( i \right )}\left( \textbf w,b \right )=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}\left( \textbf w^{T}\textbf x^{\left( i \right)}+b-y^{\left( i \right)}\right)^{2}=\frac{1}{2n}\Vert \textbf X\textbf w+b-\textbf y\Vert_2$$

  在训练模型时,我们希望找到一组参数 $\left(\textbf w^{*},b^{*}\right)$ ,能够最小化在训练集上的损失,表示如下:

$$\textbf w^{*},b^{*}=\mathop{\arg\min}_{\textbf w,b}L\left(\textbf w,b\right)$$

4. 解析解(显式解)

  线性回归是一个非常简单的优化问题,它的解可以用一个公式简单地表达出来,这类解叫做解析解(Analytical solution)。下面进行求解:

  首先将偏置 $b$ 合并到权重 $\textbf w$ 中,即 $\textbf X \leftarrow \begin{bmatrix} \textbf X & \textbf 1 \end{bmatrix}$ ,$\textbf w \leftarrow \begin{bmatrix}\textbf w \\ b \end{bmatrix}$ ,此时,$\textbf X \in\mathbb{R}^{n\times \left(d+1\right)}$ ,$\textbf w \in\mathbb{R}^{d+1}$ 。

  我们的目标是,最小化损失(下式):

$$L\left( \textbf w \right)=\frac{1}{2n}\Vert \textbf y-\textbf X\textbf w \Vert_2$$

  损失函数对参数 $\textbf w$ 求导:

$$\frac{\partial L\left(\textbf w \right )}{\partial \textbf w}=\frac{\partial L}{\partial \left(\textbf y-\textbf X\textbf w\right)}\frac{\partial \left(\textbf y-\textbf X\textbf w\right)}{\partial \textbf X\textbf w}\frac{\partial \textbf X\textbf w}{\partial \textbf w}$$

$$=\frac{1}{n}\left(\textbf y-\textbf X\textbf w\right)^{T}_{\left(1,n\right)}I_{\left(n,n\right)}X_{\left(n,d\right)}$$

$$=\frac{1}{n}\left(\textbf y-\textbf X\textbf w \right )^{T}\textbf X$$

  损失函数是凸函数(不知道为什么,搞懂了再来写),所以最小值满足:

$$\frac{\partial L\left(\textbf w\right)}{\textbf w}=0$$

$$\frac{1}{n}\left(\textbf y-\textbf X\textbf w \right )^{T}\textbf X=0$$

$$\textbf w^{*}=\left(\textbf X^{T}\textbf X\right)^{-1}\textbf X\textbf y$$

5. 小批量随机梯度下降(minibatch stochasitc gradient descent)

5.1 梯度下降

  大多数深度学习的问题无法得到解析解,这种情况下,我们仍可以有效的训练模型。

  梯度下降(gradient descent)算法是深度学习中常用的优化算法,它可以优化几乎所有的深度学习模型,原理是通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低损失。

  梯度下降最简单的用法是计算损失函数(训练集中所有样本的损失均值)关于模型参数的导数(又称梯度)。

  简要过程如下:

  首先随机初始化模型参数 $\textbf w_{0}$ ,

  然后按照 $\textbf w_{t}=\textbf w_{t-1}-\eta\frac{\partial L\left(\textbf w\right)}{\partial \textbf w_{t-1}}$ 公式来更新参数,$t$ 为迭代参数,$\eta$ 为学习率(步长)。

5.2 小批量随机梯度下降

  在实际的训练中,梯度下降的方法可能非常慢,因为每一次更新参数之前,必须遍历整个训练集。所以,我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本,这种变体叫做小批量随机梯度下降(minibatch stochastic gradient descent)。在这种方法中,我们随机采样若干个样本来近似整个训练集的损失。

  过程如下:

  在每次迭代中,我们首先随机抽样一个小批量 $\Beta$ ,它由固定数量的训练样本组成,

  然后我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数(梯度), $\left|\Beta\right|$ 为批量大小(batch size),并乘上一个学习率(learning rate) $\eta$ ,从当前参数值中减去:

$$\textbf w\leftarrow \textbf w - \frac{\eta}{\left|\Beta\right|}\sum_{i\in\Beta}\frac{\partial l^{\left(i\right)}\left(\textbf w\right)}{\partial \textbf w}$$

  对于线性回归的参数 $\textbf w$ 和 $b$ ,可以明确地写成如下形式:

$$\textbf w \leftarrow \textbf w - \frac {\eta} {\left|\Beta\right|}\sum_{i\in\Beta}\frac{\partial l^{\left(i\right)}\left(\textbf w,b\right)}{\partial \textbf w} = \textbf w - \frac{\eta}{\left| \Beta \right|} \sum_{i \in \Beta} \textbf x^{\left(i\right)} \left( \textbf w^{T} \textbf x^{\left(i\right)} + b - y^{\left(i\right)} \right)$$

$$b \leftarrow b - \frac {\eta} {\left|\Beta\right|}\sum_{i\in\Beta}\frac{\partial l^{\left(i\right)}\left(\textbf w,b\right)}{\partial b} = b - \frac{\eta}{\left| \Beta \right|} \sum_{i \in \Beta} \left( \textbf w^{T} \textbf x^{\left(i\right)} + b - y^{\left(i\right)} \right)$$

本文为学习笔记,学习内容来自李沐 https://zh-v2.d2l.ai/

【深度学习】线性回归(Linear Regression)——原理、均方损失、小批量随机梯度下降的更多相关文章

  1. TensorFlow 学习笔记(1)----线性回归(linear regression)的TensorFlow实现

    此系列将会每日持续更新,欢迎关注 线性回归(linear regression)的TensorFlow实现 #这里是基于python 3.7版本的TensorFlow TensorFlow是一个机器学 ...

  2. Ng第二课:单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

    二.单变量线性回归(Linear Regression with One Variable) 2.1  模型表示 2.2  代价函数 2.3  代价函数的直观理解 2.4  梯度下降 2.5  梯度下 ...

  3. 线性回归 Linear regression(1)线性回归的基本算法与求解

    本系列内容大部分来自Standford公开课machine learning中Andrew老师的讲解,附加自己的一些理解,编程实现和学习笔记. 第一章 Linear regression 1.线性回归 ...

  4. 机器学习方法:回归(一):线性回归Linear regression

    欢迎转载,转载请注明:本文出自Bin的专栏blog.csdn.net/xbinworld. 开一个机器学习方法科普系列:做基础回顾之用,学而时习之:也拿出来与大家分享.数学水平有限,只求易懂,学习与工 ...

  5. 斯坦福第二课:单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

    二.单变量线性回归(Linear Regression with One Variable) 2.1  模型表示 2.2  代价函数 2.3  代价函数的直观理解 I 2.4  代价函数的直观理解 I ...

  6. 斯坦福CS229机器学习课程笔记 Part1:线性回归 Linear Regression

    机器学习三要素 机器学习的三要素为:模型.策略.算法. 模型:就是所要学习的条件概率分布或决策函数.线性回归模型 策略:按照什么样的准则学习或选择最优的模型.最小化均方误差,即所谓的 least-sq ...

  7. 机器学习 (一) 单变量线性回归 Linear Regression with One Variable

    文章内容均来自斯坦福大学的Andrew Ng教授讲解的Machine Learning课程,本文是针对该课程的个人学习笔记,如有疏漏,请以原课程所讲述内容为准.感谢博主Rachel Zhang的个人笔 ...

  8. 机器学习 (二) 多变量线性回归 Linear Regression with Multiple Variables

    文章内容均来自斯坦福大学的Andrew Ng教授讲解的Machine Learning课程,本文是针对该课程的个人学习笔记,如有疏漏,请以原课程所讲述内容为准.感谢博主Rachel Zhang 的个人 ...

  9. ML 线性回归Linear Regression

    线性回归 Linear Regression MOOC机器学习课程学习笔记 1 单变量线性回归Linear Regression with One Variable 1.1 模型表达Model Rep ...

随机推荐

  1. 我对数据库事务的理解(MYSQL中)

    -- 设置数据库事务为手动的提交SET @@AUTOCOMMIT = 0;-- 查看是否被修改SELECT @@autocommit;-- 查看当前的编码格式SELECT @@character_se ...

  2. 由Eratosthenes筛法演变出的一种素数新筛法

    这两天和walls老师交流讨论了一个中学竞赛题,我把原题稍作增强和变形,得到如下一个题: 从105到204这100个数中至少要选取多少个数才能保证选出的数中必有两个不是互素的? 我们知道最小的几个素数 ...

  3. 浅谈C#更改令牌ChangeToken

    前言 在上篇文章浅谈C#取消令牌CancellationTokenSource一文中我们讲解了CancellationTokenSource,它的主要功能就是分发一个令牌,当我取消令牌我可以进行一些回 ...

  4. MySQL-LSN

    查看lsn:   show engine innodb status Log sequence number 2687274848548    Log flushed up to 2687274848 ...

  5. Mysql主从复制、半同步复制、并行复制

    MySQL之间数据复制的基础是二进制日志文件(binary log file).一台MySQL数据库一旦启用二进制日志后,其作为master,它的数据库中所有操作都会以"事件"的方 ...

  6. vue 前端反向代理后台,解决跨域问题

    // 和 src 同层的 config 文件夹下的 index.js dev 里面的 // Paths     assetsSubDirectory: 'static',     assetsPubl ...

  7. MPI集群搭建

    高性能计算     ubantu下集群搭建 参考博客:https://blog.csdn.net/u012304016/article/details/52423738(尊重别人的知识产权),一些细节 ...

  8. ubantu上面 NFS服务器安装

    ---恢复内容开始--- N月一更............ 本博客部分参照:https://blog.csdn.net/CSDN_duomaomao/article/details/77822883  ...

  9. java代码覆盖实战

    Jacoco原理 代码插桩 On-the-fly插桩: JVM中通过-javaagent参数指定特定的jar文件启动Instrumentation的代理程序,代理程序在通过Class Loader装载 ...

  10. [初学Python]编写一个最简单判断SQL注入的检测工具

    0x01 背景 15年那会,几乎可以说是渗透最火的一年,各种教程各种文章,本人也是有幸在那几年学到了一些皮毛,中间因学业问题将其荒废至今.当初最早学的便是,and 1=1 和 and 1=2 这最简单 ...