正题


题目大意

一张随机的\(n\)个点的竞赛图,给出它的\(m\)条相互无交简单路径,求这张竞赛图的期望强联通分量个数。

\(1\leq n,m\leq 10^5\)


解题思路

先考虑\(m=0\)的做法,此时我们考虑一个强联通块的贡献,注意到竞赛图中强联通块的会构成一条链的形式,枚举一个大小\(S\),那么此时联通块内到联通块外的边方向确定,那么这个联通块产生贡献的的概率就是\(\frac{1}{2}^{S(n-S)}\),选出这个联通块的方案就是\(\binom{n}{i}\)。

那么答案就是

\[\sum_{i=1}^n\frac 1 2^{S(n-S)}\binom{n}{i}
\]

考虑包含给出路径的情况,因为无交,所以点的编号不影响答案,只有路径长度影响方案。

考虑一条路径对一个强联通分量造成的贡献,考虑如果一条链的一半在这个块内,一条在这个块外,那么就会确定一条边的方案。所以除数要除以\(2\)。

把单点看成链的话,那么一个块由多条链组成,对于每条链构建一个形如

\[1+2x+2x^2+...+2x^{l-1}+x^{l-1}
\]

的多项式,然后跑分治\(NTT\)乘起来再用上面的式子做就好了。

时间复杂度\(O(n\log^2 n)\)


code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,T=20,P=998244353;
struct Poly{
ll a[N],n;
}F[T];
ll n,m,a[N],r[N],x[N],y[N];
bool v[T];
ll read(){
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
for(ll i=0;i<n;i++)
if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
ll tmp=power(3,(P-1)/p),len=p>>1;
if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
for(ll k=0;k<n;k+=p){
ll buf=1;
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll tt=buf*f[i+len]%P;
f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
f[i]=(f[i]+tt)%P;
buf=buf*tmp%P;
}
}
}
if(op==-1){
ll invn=power(n,P-2);
for(ll i=0;i<n;i++)
f[i]=f[i]*invn%P;
}
return;
}
void Mul(Poly &F,Poly &G){
ll n=1;
while(n<F.n+G.n)n<<=1;
for(ll i=0;i<F.n;i++)x[i]=F.a[i];
for(ll i=0;i<G.n;i++)y[i]=G.a[i];
for(ll i=F.n;i<n;i++)x[i]=0;
for(ll i=G.n;i<n;i++)y[i]=0;
for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
NTT(x,n,1);NTT(y,n,1);
for(ll i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*y[i]%P;
NTT(x,n,-1);
for(ll i=0;i<n;i++)F.a[i]=x[i];
F.n=F.n+G.n-1;return;
}
ll Find(){
for(ll i=0;i<T;i++)
if(!v[i]){v[i]=1;return i;}
}
ll Solve(ll l,ll r){
if(l==r){
ll p=Find();F[p].a[0]=1;F[p].a[a[l]]=1;
for(ll i=1;i<a[l];i++)F[p].a[i]=2;
F[p].n=a[l]+1;return p;
}
ll mid=(l+r)>>1;
ll ls=Solve(l,mid),rs=Solve(mid+1,r);
Mul(F[ls],F[rs]);v[rs]=0;
return ls;
}
signed main()
{
freopen("graph.in","r",stdin);
freopen("graph.out","w",stdout);
n=read();m=read();
ll sum=n,ans=0;
for(ll i=1;i<=m;i++){
a[i]=read();sum-=a[i];
for(ll j=1,x;j<=a[i];j++)x=read();
}
while(sum)
a[++m]=1,sum--;
ll p=Solve(1,m);
for(ll i=0;i<n;i++)
(ans+=F[p].a[i]*power((P+1)/2,i*(n-i))%P)%=P;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

[gdoi2018 day1]小学生图论题【分治NTT】的更多相关文章

  1. 【XSY2887】【GDOI2018】小学生图论题 分治FFT 多项式exp

    题目描述 在一个 \(n\) 个点的有向图中,编号从 \(1\) 到 \(n\),任意两个点之间都有且仅有一条有向边.现在已知一些单向的简单路径(路径上任意两点各不相同),例如 \(2\to 4\to ...

  2. GDOI2018 小学生图论题 [NTT]

    并没有传送门qwq 思路 首先要知道一个结论(或者说是一个套路):一个竞赛图缩点之后必定是一条链. 那么强联通分量的个数,就是这条链的边数+1. 考虑一条边什么时候会出现:当且仅当点集可以被分成\(S ...

  3. GDOI2018 Day1 题目总结

    T1:农场 题意:有一个长为 $n$ 的序列 $a$,要求将其分成尽可能多的部分,使得每一部分的 $a_i$ 的和相等.求最多能分成的部分数. $30\%:1\le n\le 1000$ $80\%: ...

  4. 【BZOJ-3456】城市规划 CDQ分治 + NTT

    题目链接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 Solution 这个问题可以考虑dp,利用补集思想 N个点的简单图总数量为$2^{ ...

  5. HDU 5552 Bus Routes(2015合肥现场赛A,计数,分治NTT)

    题意  给定n个点,任意两点之间可以不连边也可以连边.如果连边的话可以染上m种颜色. 求最后形成的图,是一个带环连通图的方案数. 首先答案是n个点的图减去n个点能形成的树. n个点能形成的树的方案数比 ...

  6. BZOJ3456 城市规划 【分治NTT】

    题目链接 BZOJ3456 题解 据说这题是多项式求逆 我太弱不会QAQ,只能\(O(nlog^2n)\)分治\(NTT\) 设\(f[i]\)表示\(i\)个节点的简单无向连通图的数量 考虑转移,直 ...

  7. HDU 5279 YJC plays Minecraft (分治NTT优化DP)

    题目传送门 题目大意:有$n$个小岛,每个小岛上有$a_{i}$个城市,同一个小岛上的城市互相连接形成一个完全图,第$i$个小岛的第$a_{i}$个城市和第$i+1$个小岛的第$1$个城市连接,特别地 ...

  8. #565. 「LibreOJ Round #10」mathematican 的二进制(期望 + 分治NTT)

    题面 戳这里,题意简单易懂. 题解 首先我们发现,操作是可以不考虑顺序的,因为每次操作会加一个 \(1\) ,每次进位会减少一个 \(1\) ,我们就可以考虑最后 \(1\) 的个数(也就是最后的和) ...

  9. LOJ2541 PKUWC2018猎人杀(概率期望+容斥原理+生成函数+分治NTT)

    考虑容斥,枚举一个子集S在1号猎人之后死.显然这个概率是w1/(Σwi+w1) (i∈S).于是我们统计出各种子集和的系数即可,造出一堆形如(-xwi+1)的生成函数,分治NTT卷起来就可以了. #i ...

随机推荐

  1. Java使用Lettuce操作redis

    maven包 # 包含了lettuce jar <dependency> <groupId>org.springframework.boot</groupId> & ...

  2. .NET WebApi 实战第五讲之EntityFramework事务

    在<.NET WebApi 实战第二讲>中我们有提到过事务的概念!任何数据库的读操作可以没有事务,但是写事件必须有事务,如果一个后端工程师在数据库写入时未添加事务,那就不是一个合格的工程师 ...

  3. CPU 进程 线程 关系与区别

  4. ASP.Net Core Web Api 使用 IdentityServer4 最新版 踩坑记录

    辅助工具 日志追踪包 : Serilog.AspNetCore 源码查看工具 : ILSpy 项目环境 ###: ASP.NetCore 3.1 IdentityServer4 4.0.0+ 主题内容 ...

  5. css - 样式 - 可见性

    visibility 可见性 取值:visible(可见) |  hidden(隐藏.保留占位) 设置给:块.行内块.行内元素 作用:设置元素在文档上的可见性 此属性只是隐藏元素,但会为元素保留占位. ...

  6. Java异常与异常处理

    异常体系结构 1.所有异常都继承于Throwable类,其下有两大子类: (1)Error类:错误,一般编程人员不太接触,如虚拟机错误.线程死锁.硬伤:使程序崩溃 (2)Exception类:异常,编 ...

  7. Spring Data JPA:解析CriteriaBuilder

    源码 在Spring Data JPA相关的文章[地址]中提到了有哪几种方式可以构建Specification的实例,该处需要借助CriteriaBuilder,回顾一下Specification中t ...

  8. 【曹工杂谈】详解Maven插件调试方法

    前言 今年的更新频率简直是降至冰点了,一方面平时加班相对多一些了,下班只想玩手机:另一方面,好像进了大厂后,学习动力也很低了,总之就,很懒散,博客的话,今年都才只更新了不到5篇. 现在慢慢有一点状态, ...

  9. Kubernetes 持久化数据存储 StorageClass

    文章链接 PV 和 PVC 模式要先创建好 PV,然后再定义好 PVC 进行一对一的绑定.那么如果遇到大集群,也一一的创建吗?这样来说维护成本很高,工作量大.这个时候就有了 Kubernetes 提供 ...

  10. Kafka内外网访问

    本文介绍了Kafka内外网访问的设置. kafka的两个配置listeners和advertised.listeners listeners kafka监听的网卡的ip,假设你机器上有两张网卡,内网1 ...