bzoj4816 [Sdoi2017]数字表格

Description

Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么

f[0]=0

f[1]=1

f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2

Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,

j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

Input

有多组测试数据。

第一个一个数T，表示数据组数。

接下来T行，每行两个数n,m

T<=1000,1<=n,m<=10^6

Output

输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

Sample Input

3
2 3
4 5
6 7

Sample Output

1
6
960

正解：莫比乌斯函数。

水水的一道题，不过卡常数。。推导一波吧。。

$Ans=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))$

$Ans=\prod_{d=1}^{min(n,m)}f(d)^{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)==d]}$

直接跳过吧。。因为中间的都是老套路了。。

$Ans=\prod_{d=1}^{min(n,m)}f(d)^{\sum_{p=1}^{min(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor,\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)} \mu(p)\left \lfloor \frac{n}{dp} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dp} \right \rfloor}$

然后好像没办法往下化简了，不过这个式子用数论分块就能过了。。因为复杂度不是满的，好像是$O(Tn^{\frac{3}{4}})$吧。。

反正这就能$AC$了。。

 //It is made by wfj_2048~
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <complex>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cstdio>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <set>
 #define rhl (1000000007)
 #define inf (1<<30)
 #define N (1000010)
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
 
 using namespace std;
 
 int vis[N],inv[N],mu[N],prime[N],n,m,cnt,pos1,pos2;
 ll f[N],ans;
 
 il int gi(){
     RG int x=,q=; RG char ch=getchar();
     while ((ch<'' || ch>'') && ch!='-') ch=getchar();
     if (ch=='-') q=-,ch=getchar();
     while (ch>='' && ch<='') x=x*+ch-,ch=getchar();
     return q*x;
 }
 
 il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
     RG ll ans=;
     while (b){
     if (b&) ans=ans*a%rhl;
     a=a*a%rhl,b>>=;
     }
     return ans;
 }
 
 il void pre(){
     f[]=vis[]=mu[]=;
     for (RG int i=;i<N;++i){
     if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-;
     for (RG int j=,k;j<=cnt;++j){
         k=i*prime[j]; if (k>=N) break; vis[k]=;
         if (i%prime[j]) mu[k]=-mu[i]; else break;
     }
     f[i]=f[i-]+f[i-]; if (f[i]>=rhl) f[i]-=rhl;
     }
     inv[]=inv[]=,f[]=;
     for (RG int i=;i<N;++i)
     mu[i]+=mu[i-],f[i]*=f[i-],f[i]%=rhl,inv[i]=qpow(f[i],rhl-);
     return;
 }
 
 il void work(){
     n=gi(),m=gi(),ans=; if (n>m) swap(n,m);
     for (RG int i=;i<=n;i=pos1+){
     pos1=min(n/(n/i),m/(m/i)); RG ll res=;
     for (RG int j=;j<=n/i;j=pos2+){
         pos2=min(n/i/(n/i/j),m/i/(m/i/j));
         res+=(ll)(mu[pos2]-mu[j-])*(n/i/j)*(m/i/j);
     }
     ans*=qpow(f[pos1]*(ll)inv[i-]%rhl,res),ans%=rhl;
     }
     printf("%lld\n",ans); return;
 }
 
 int main(){
     File("product");
     pre(); RG int T=gi();
     while (T--) work();
     return ;
 }