Treap详解
今天一天怼了平衡树。深深地被她的魅力折服了。我算是领略到了高级数据结构的美妙。oi太神奇了。
今天初识平衡树,选择了Treap。
Treap又叫树堆,是一个二叉搜索树。我们知道,它的节点插入是随机的,这样大多数情况下一个平衡的树。但是存在极其特殊的情况,就是树退化成链,这样无法支持我们期望的O(log)效率了。所以我们需要给树附加一个随机的域(里面可以理解为优先级),使树构成二叉排序树的同时,还要满足堆的性质。
Treap树建立具体解释:
我们可以使节点优先级大于儿子节点。可以让节点随机域的数值是以它为根的子树里面最小的,左右儿子都比它大,这样是不是就满足堆的性质了?hhh
至于我们要求的本身的数值,要满足二叉排序树的性质,左子树都比它小,右子树都比它大。
下面我来介绍Treap的具体操作和代码
最重要的是旋转操作,其他操作我会在代码中解释。
因为要维护堆的性质,所以要旋转。
因为要维护堆的性质,要把x旋转到node的位置。这时要满足二叉排序树的性质。Node>P>X.旋转后我们依然要满足这个性质。所以我们要让P为node的左儿子,node为X的右儿子。
代码详尽解释:
支持以下操作:
1.插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数,因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数,因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x,且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x,且最小的数)
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> using namespace std; #define pos(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++) #define pos2(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--) #define N 500010 struct Treap { int l,r,w,v,size,rnd; //v为实际数值;rnd为优先级;size为以它为根的子树大小;w为自身节点存的数的个数(数据可以有多个重复的数) }tree[N]; int n; int root,size; void update(int k) { tree[k].size=tree[tree[k].l].size+tree[tree[k].r].size+tree[k].w; //更新子树大小 } void rturn(int &k) { int t=tree[k].l; tree[k].l=tree[t].r; tree[t].r=k; tree[t].size=tree[k].size; update(k); k=t; }//右旋转 void lturn(int &k) { int t=tree[k].r; tree[k].r=tree[t].l; tree[t].l=k; tree[t].size=tree[k].size; update(k); k=t; }//左旋转 void insert(int &k,int x) { if(k==0) { size++; k=size; tree[k].w=tree[k].size=1; tree[k].v=x; tree[k].rnd=rand();//随机数 return; } tree[k].size++; if(tree[k].v==x)//如果有多个,w++ tree[k].w++; else { if(tree[k].v<x)//满足二叉排序树性质 { insert(tree[k].r,x); if(tree[tree[k].r].rnd<tree[k].rnd) lturn(k);//维护堆性质,左旋转 } else { insert(tree[k].l,x); if(tree[tree[k].l].rnd<tree[k].rnd) rturn(k); } } } int tmp; void query_pro(int k,int x) { if(k==0) return; if(x>tree[k].v) { tmp=k;//不断更新过程。数值小于目标值,去右子树里找 ,找到第一个比它大的值。此时更新结果即为比它小的最大的值 query_pro(tree[k].r,x); } else query_pro(tree[k].l,x); } void query_sub(int k,int x) { if(k==0) return; if(x<tree[k].v)//与上面同理 { tmp=k; query_sub(tree[k].l,x); } else query_sub(tree[k].r,x); } void del(int &k,int x) { if(k==0) return; if(tree[k].v==x) { if(tree[k].w>1)//若不止相同值的个数有多个,删去一个 { tree[k].w--; tree[k].size--; return; } if(tree[k].l*tree[k].r==0)//有一个儿子为空 k=tree[k].l+tree[k].r; else { if(tree[tree[k].l].rnd<tree[k].rnd) { rturn(k); del(k,x); } else { lturn(k); del(k,x); } } } else { if(x>tree[k].v) { tree[k].size--; del(tree[k].r,x); } else { tree[k].size--; del(tree[k].l,x); } } } int query_rank(int k,int x) { if(k==0) return 0; if(tree[k].v==x) return tree[tree[k].l].size+1;//找到目标值,左子树都比它小,左子树大小+1即为它的排名 else { if(x>tree[k].v) return tree[tree[k].l].size+tree[k].w+query_rank(tree[k].r,x); else return query_rank(tree[k].l,x); } } int query_num(int k,int x) { if(k==0) return 0; if(x<=tree[tree[k].l].size) return query_num(tree[k].l,x); else if(x>tree[tree[k].l].size+tree[k].w) return query_num(tree[k].r,x-tree[tree[k].l].size-tree[k].w); else return tree[k].v; } int main() { freopen("phs.in","r",stdin); freopen("phs.out","w",stdout); scanf("%d",&n); int opt,x; pos(i,1,n) { scanf("%d%d",&opt,&x); switch(opt) { case 1:insert(root,x);break; case 2:del(root,x);break; case 3:printf("%d\n",query_rank(root,x));break; case 4:printf("%d\n",query_num(root,x));break; case 5:tmp=0;query_pro(root,x);printf("%d\n",tree[tmp].v);break; case 6:tmp=0;query_sub(root,x);printf("%d\n",tree[tmp].v);break; } } //while(1); return 0; }
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