补码复习的好例子---Int范围的科学解释

Int范围的科学解释

这得从二进制的原码说起：
如果以最高位为符号位，二进制原码最大为0111111111111111=2的15次方减1=32767
最小为1111111111111111=-2的15次方减1=-32767
此时0有两种表示方法，即正0和负0：0000000000000000=1000000000000000=0
所以，二进制原码表示时，范围是-32767～-0和0～32767，因为有两个零的存在，所以不同的数值个数一共只有2的16次方减1个，比16位二进制能够提供的2的16次方个编码少1个。
但是计算机中采用二进制补码存储数据，即正数编码不变，从0000000000000000到0111111111111111依旧表示0到32767，而负数需要把除符号位以后的部分取反加1，即-32767的补码为1000000000000001。
到此，再来看原码的正0和负0：0000000000000000和1000000000000000，补码表示中，前者的补码还是0000000000000000，后者经过非符号位取反加1后，同样变成了0000000000000000，也就是正0和负0在补码系统中的编码是一样的。但是，我们知道，16位二进制数可以表示2的16次方个编码，而在补码中零的编码只有一个，也就是补码中会比原码多一个编码出来，这个编码就是1000000000000000，因为任何一个原码都不可能在转成补码时变成1000000000000000。所以，人为规定1000000000000000这个补码编码为-32768。
所以，补码系统中，范围是-23768～32767

【即-2^(n-1)到2^(n-1)-1，其实很好记，只需要记住8位正数的补码和源码一样，它的最大值是01111111即可，也就是2^7-1】。

因此，实际上，二进制的最小数确实是1111111111111111，只是二进制补码的最小值才是1000000000000000，而补码的1111111111111111是二进制值的-1。

补码

原码、反码、补码

数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) ₁₀-  ( 1 )₁₀ =  ( 1
)₁₀ + ( -1 )₁₀ =  ( 0 )₁₀

(00000001)_原 + (10000001)_原 = (10000010)_原 = ( -2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

( 1 )₁₀ -  ( 1 ) ₁₀= 
( 1 ) ₁₀+ ( -1 ) ₁₀=  ( 0 )₁₀

(00000001) _反+ (11111110)_反 =  (11111111)_反 =  ( -0 )
 有问题.

( 1 )₁₀ -  ( 2)₁₀ = 
( 1 )₁₀ + ( -2 )₁₀ =  ( -1 )₁₀

(00000001) _反+ (11111101)_反 =  (11111110)_反 =  ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)  补码的加减运算如下:

( 1 ) ₁₀-  ( 1 ) ₁₀=  ( 1
)₁₀ + ( -1 )₁₀ =  ( 0 )₁₀

(00000001)_补 + (11111111)_补 =  (00000000)_补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) ₁₀-  ( 2) ₁₀=  ( 1
)₁₀ + ( -2 )₁₀ =  ( -1 )₁₀

(00000001) _补+ (11111110) _补=  (11111111)_补 = ( -1 )  正确

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些大家应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧！

有网友对此做了进一步的总结：

本人大致总结一下：

1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。

主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

数值的补码表示也分两种情况：
（1）正数的补码：与原码相同。
例如，+9的补码是00001001。
（2）负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。
例如，-7的补码：因为是负数，则符号位为“1”,整个为10000111；其余7位为-7的绝对值+7的原码0000111按位取反为1111000；再加1，所以-7的补码是11111001。

已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：
（1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。
（2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作可以是：符号位为1，其余各位取反，然后再整个数加1。
例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。

在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”的概念：

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如：

　　时钟的计量范围是0～11，模=12。
　　表示n位的计算机计量范围是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指数】

　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

例如：假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

　　　一种是倒拨4小时，即：10-4=6

　　　另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8，所能表示的最大数是11111111，若再加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2(8)。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。

把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

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关于算术运算的溢出问题，曾经我也迷茫过，而且不知道为什么整型变量溢出后会是模运算的结果呢，以前还以为是不可以预测的，不过弄懂了原码、补码的概念后，就发现其实都是有规律可循的，如果你还不太清楚补码什么东西，建议先看看随笔『计算机中的原码、反码和补码』，弄清楚整型数据在计算机中是如何储存的。
　　在那篇文中，我们讲述了为什么我们把-1强制成无符号短整型输出后会得到65535，在这里我们不对它进行类型转换，我们只是超出它的范围看看。
　　还是定义一个2字节大小的短整型short int n;，学了前面的知识，我们知道这里n的范围是-32768~32767，而且通过前面知识我们也知道：

　　这里的-32768在计算机中特殊表示为10000000 00000000
　　0~32767是00000000 00000000~01111111 11111111
　　-1~-32767是11111111 11111111~10000000 00000001

　　当我们赋值n=32767，我们先n+1，超出它的范围，再输出n看看，结果是-32768，为什么？我们来分析一下，32767在内存中是以01111111
11111111储存的，我们对这个二进制码加1运算看看，结果是10000000 00000000，它表示的数是多少，哈哈，这不就是-32768吗？不甘心，也许是巧合呢，那我们再加1看看，结果是10000000
00000001，表示的是-32767，再多试几个也一样的。哦，原来不是巧合呀，正因为如此，所以我们就不用这么繁琐了，直接进行模运算就可以了！啊？什么是模运算？昏……模运算就是除整取余的运算。

　　下面我把书上的例子再拿出来给你讲你就明白了。
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在16位机器上进行下面的操作：//为什么强调16位机器？因为16位机器上的int型的存储空间是2个字节

int weight=42896;

　　如果你把输出，在16位机器中将不能得到42896，而是-22640。因为有符号整数的表示范围是-32768~32767（共65536个数），所以它只能得到42896的补码-22640（42896-65536=-22640）。
　　一个整型类型的变量，用任何一个超过表示范围的整数初始化，得到的值为用该整数范围作模运算后的值。例如：

int weight=142896;

　　则当weight是2字节整型数时，得到值为11824。因为142896-2*65536=11824。为什么不是用142896-3*65536=-53712呢，因为weight的范围是-32768~32767，显而易见，-53712不在这个范围内。