题意:

用  $A(n)$ 表示第 $n$ 个只由1组成分整数,现给定一个素数 $p$,求满足 $1 \leq i\leq n, 1 \leq j \leq m, A(i^j) \equiv 0(mod \ p)$ 的 $(i, j)$ 对数。

分析:

$11...11 = \frac{10^n-1}{9} \equiv 0(mod \ p)$ 等价于 $10^n \equiv 1(mod \ 9p)$,当 $p \neq 2,5$ 时,有 $gcd(10, 9p)=1$,因此 $10^{\phi(9p)} \equiv 1(mod \ 9p)$。我们需要找到满足等式最小的数 $d$,也是循环节,显然 $d \ | \ \phi (9p)$,直接枚举 $\phi(9p)$ 的约数验证即可。

找到循环节 $d$ 后,我们需要知道有多少对 $(i, j)$ 满足 $d \ | \ i^j$.

对 $d$ 做质因数分解, $d = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_l^{k_l}$,考虑 $j$ 固定的时候,$i$ 需要满足什么条件?$i$ 必须是 $g = p_1^{\left \lceil \frac{K_1}{j} \right \rceil} p_2^{\left \lceil \frac{K_2}{j} \right \rceil} ... \ p_l^{\left \lceil \frac{K_l}{j} \right \rceil}$ 的倍数,因此共有 $\frac{n}{g}$ 个合法的 $i$。

由于 $k_i \leq 30$,所以 $j$ 增加到30以上和 $j=30$ 的结果是一样的,枚举 $j$ 从1到30,分别计算 $g$ 即可。

当 $p=2,5$ 的时候,显然答案为0.

$\phi(9p)$ 也不必用欧拉函数计算,当 $p \neq 3$ 时,3与p互素,根据欧拉函数的积性,$\phi (9p) = \phi (9)\phi (p) = 6(p-1)$.

由于快速幂会爆long long,需要用__int128(血的教训啊,wa了好多发,枯了)

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll; ll p, m ,n;
map<ll, ll>ma; __int128 qpow(__int128 a, __int128 b, __int128 p)
{
__int128 res = ;
while(b)
{
if(b & ) res = res * a % p;
a = (a * a) % p; //a*a会爆long long
b >>= ;
}
return res;
} ll qpow2(ll a, ll b) {
ll res = ;
while(b)
{
if(b & ) res = res * a;
a = a * a;
b >>= ;
}
return res;
} //约数枚举O(√n)
ll divisor(ll n, ll p)
{
vector<ll>res;
for (ll i = ; i * i <= n; i++)
{
if (n % i == )
{
//printf("i:%lld\n", i);
if(qpow(, i, *p) % (*p) == ) return i;
if(i != n / i) res.push_back(n / i);
}
}
for(ll i = res.size()-;i >= ;i--)
{
// printf("i:%lld\n", res[i]);
if(qpow(, res[i], *p) % (*p) == ) return res[i];
}
return ;
} //整数分解O(√n)
void prime_factor(ll n)
{
for (int i = ; i * i<= n; i++)
{
while (n % i == )
{
++ma[i];
n /= i;
}
}
if (n != ) ma[n] = ; //最多只有一个素因数大于√n
} //j固定的情况下的对数
ll OneJ(int j)
{
ll res = ;
for(auto it = ma.begin();it != ma.end();it++)
{
res *= qpow2((*it).first, (ll)ceil((*it).second * 1.0 / j));
}
return n / res;
} int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld", &p, &n, &m);
//int fai = euler_phi(9*p);
ll k;
if(p == || p == )
{
printf("0\n");
continue;
} if(p == )
{
k = divisor(, p);
}
else k = divisor(*(p-), p); //printf("k:%lld\n", k); if(k == ) printf("0\n");
else
{ ma.clear();
ll res = ;
prime_factor(k); //printf("k:%lld\n", k); if(m < )
{
for(int i = ;i <= m;i++) res += OneJ(i);
}
else
{
for(int i = ;i <= ;i++) res += OneJ(i);
int tmp = OneJ();
res += tmp * (m - );
}
printf("%lld\n", res);
}
}
return ;
}

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