【概率论】4-3:方差(Variance)

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title: 【概率论】4-3:方差(Variance)

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- Mathematic

- Probability

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- Variance

- Standard Deviation

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date: 2018-03-23 22:22:11

Abstract: 本文介绍继期望之后分布的另一个重要数学性质，方差

Keywords: Variance,Standard Deviation

开篇废话

这两天更新有点频繁，但是没办法，必须快速的完成的基础知识积累，毕竟时间是有限的，还要留出更多的时间用于更进一步的深入研究，打牢基础的同时尽可能的提升速度。

如果我虚度光阴，那就请结束我的一生。如果你用奉承掐媚愚弄我，那我便自得取乐，如果你用荣华富贵诱惑我，那即便我的末日来临，我也要赌个输赢！

虽然期望很有用，但是并不能够完全的反应分布的信息，这么思考，首先，一个分布是一个公式确定的，这个公式的结构，和参数，如果能用一个参数全部概括，那么我们就有了一个超级模型一样的东西，这显然是不存在的，所以我们要用更多的数字特征来描述，代表一个分布的样子。

本文我们就介绍一款特征可以表示分布的离散程度（英文叫 “spread out”）——方差，他的衍生小弟叫做标准差是他的平方根，目前还不知道有啥特殊用途。

先举个例子，股票。。

一个股波动范围在 [25,35][25,35][25,35] 之间，均匀分布，第二个股分布在 [15,45][15,45][15,45] 之间的均匀分布。

那么其图像显示如下：

可见这个图像上，均值一致，都是30，但是分布有着明显区别，我们开始介绍我们的主角——“方差”

Definitions of the Variance and the Standard Deviation

Definition Variance/Standard Deviation.Let XXX be a random variable with finite mean μ=E(X)\mu=E(X)μ=E(X) ,The variance of XXX denoted by Var(x)Var(x)Var(x) ,is defined as follows:

Var(X)=E[(X−μ)2]
Var(X)=E[(X-\mu)^2]
Var(X)=E[(X−μ)2]

上面是关于方差和标准差的定义，首先随机变量的必须有一个有限的期望，然后再这个期望的基础上，每个变量和均值做差然后求其平方的期望，一共两步，用到了两次期望，可见方差其实就是随机变量函数的期望，而这个函数内又包含期望的运算。

注意无限的均值，或者不存在均值，都会导致方差无法计算，这是我们说随机变量没有方差，比如柯西分布，没有均值，也就没有方差，可见不是所有分布都有均值和方差的，同样，后面所有用到期望求的数字特征都没有。

方差用希腊字母 σ2\sigma^2σ2 表示，标准差用希腊字母 σ\sigmaσ 表示，这是单个变量的分布时，当有多个变量的时候只需要对σ\sigmaσ 加以区分就可以，比如加下标 σa\sigma_aσa​ so so

那么我们来计算个