卷积理论 & 高维FWT学习笔记

之前做了那么多生成函数和多项式卷积的题目，结果今天才理解了优化卷积算法的实质。

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首先我们以二进制FWT or作为最简单的例子入手。

我们发现正的FWT or变换就是求$\hat{a}_j=\sum_{i\in j}a_i$，即子集和，那这个是怎么来的呢？

我们假设$a$到$\hat{a}$的转移矩阵为$X$，则

$$(\sum_{j}X_{i,j}a_j)*(\sum_{j}X_{i,j}b_j)=\sum_jX_{i,j}(\sum_{s|t=j}a_sb_t)$$

所以考虑$a_sb_t$的贡献。

$$X_{i,s}*X_{i,t}=X_{i,s|t}$$

所以对于$X$的每一行都有$X_s*X_t=X_{s|t}$

而且由于最后还要进行逆变换，也就是乘上$X^{-1}$，我们知道矩阵可以求逆当且仅当$X$的行列式不为0，所以$X$的任意两行都不相同。

根据这个，我们先假设$X$中只有0和1（因为这样是最简单的），然后$X_{s|t}=1$与$X_s=X_t=1$等价，所以就可以推出来了。

先看$n=8$的情形。

$$X=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$

打表找规律可得

$$X_{i,j}=\prod_{k=0}^{n-1}C_{i[2^k],j[2^k]}$$

其中$i[2^k]$表示$i$在二进制下的第$k$位。

$$C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$

然后我们就知道如何进行分治计算这个向量乘矩阵了。（对，就是那个三重循环）

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我们也可以把FFT的矩阵也这样写出来。

$$A=\begin{pmatrix}\omega_n^0 & \omega_n^0 & \ldots & \omega_n^0 & \omega_n^0 \\\omega_n^0 & \omega_n^1 & \ldots & \omega_n^{n-2} & \omega_n^{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\\omega_n^0 & \omega_n^{n-1} & \ldots & \omega_n^{(n-2)(n-1)} & \omega_n^{(n-1)(n-1)}\end{pmatrix}$$

即$A_{i,j}=\omega_n^{ij}$，所以

$$A^{-1}=\frac{1}{n}\begin{pmatrix}\omega_n^{-0} & \omega_n^{-0} & \ldots & \omega_n^{-0} & \omega_n^{-0} \\\omega_n^{-0} & \omega_n^{-1} & \ldots & \omega_n^{-(n-2)} & \omega_n^{-(n-1)} \\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\\omega_n^{-0} & \omega_n^{-(n-1)} & \ldots & \omega_n^{-(n-2)(n-1)} & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}\end{pmatrix}$$

即$A^{-1}_{i,j}=\frac{\omega_n^{-ij}}{m}$

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UOJ272 【清华集训2016】石家庄的工人阶级队伍比较坚强

我们设$B_{i,j}$表示$f_{i-1}$到$f_i$的转移矩阵。

定义$a\oplus b$表示三进制不进位加法，$a\ominus b$表示三进制不退位减法。易得这两个运算互为逆运算。

则$\forall k,B_{i\oplus k,j\oplus k}=B_{i,j}$，由数学归纳法得$\forall k,B_{i\oplus k,j\oplus k}^n=B_{i,j}^n$即$B_{i,j}^n=B_{0,j\ominus i}^n$

$$f_{n,i}=\sum_{j}f_{0,j}*B_{j,i}^n=\sum_{j}f_{0,j}*B_{0,i\ominus j}^n=\sum_{x\oplus y=i}f_x*B_{0,y}^n$$

所以我们只需要求出$B$矩阵的第一行并与$f_0$做三进制下的异或卷积就可以了。

我们先考虑二进制下的。

$$C=\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & -1\end{pmatrix}$$

（$C$矩阵的意义见上）

所以感性理解一下（或者可以自己推一推），三进制的异或卷积的矩阵就是：

$$C=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & \omega & \omega^2 \\1 & \omega^2 & \omega\end{pmatrix}$$

$$C^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & \omega^2 & \omega \\1 & \omega & \omega^2\end{pmatrix}$$

其中$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

但是$\sqrt{3}$运算非常麻烦，还会有精度问题，所以我们取$1,\omega$作为基底而不是$1,i$，即把复数表示成$a+b\omega$的形式。

乘法与$a+bi$的乘法不一样，需要推一推。

$$(a+b\omega)(c+d\omega)=ac+(bc+ad)\omega+bd(-\omega-1)=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega$$

然后就应该是做完了。

 #include<cstdio>
 #define Rint register int
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = ;
 int n, m, t, p, po[], cntx[N], cnty[N];
 inline void exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
     if(!b){x = ; y = ; return;}
     exgcd(b, a % b, y, x); y -= (LL) a / b * x;
 }
 struct complex {
     int x, y;
     inline complex(int x = , int y = ): x(x), y(y){}
     inline complex operator + (const complex &o) const {return complex((x + o.x) % p, (y + o.y) % p);}
     inline complex operator - (const complex &o) const {return complex((x - o.x + p) % p, (y - o.y + p) % p);}
     inline complex operator * (const complex &o) const {
         return complex(((LL) x * o.x % p - (LL) y * o.y % p + p) % p, ((LL) y * o.x % p + (LL) x * o.y % p - (LL) y * o.y % p + p) % p);
     }
 } A[N], B[N];
 inline complex kasumi(complex a, int b){
     complex res = complex(, );
     while(b){
         if(b & ) res = res * a;
         a = a * a;
         b >>= ;
     }
     return res;
 }
 inline complex calc1(const complex &a){return complex((p - a.y) % p, (a.x - a.y + p) % p);}
 inline complex calc2(const complex &a){return complex((a.y - a.x + p) % p, (p - a.x) % p);}
 inline void dft(complex *A){
     for(Rint mid = ;mid < n;mid *= )
         for(Rint j = ;j < n;j += mid * )
             for(Rint k = ;k < mid;k ++){
                 complex x = A[j + k], y = A[j + k + mid], z = A[j + k + mid * ];
                 A[j + k] = x + y + z;
                 A[j + k + mid] = x + calc1(y) + calc2(z);
                 A[j + k + mid * ] = x + calc1(z) + calc2(y);
             }
 }
 inline void idft(complex *A){
     for(Rint mid = ;mid < n;mid *= )
         for(Rint j = ;j < n;j += mid * )
             for(Rint k = ;k < mid;k ++){
                 complex x = A[j + k], y = A[j + k + mid], z = A[j + k + mid * ];
                 A[j + k] = x + y + z;
                 A[j + k + mid] = x + calc1(z) + calc2(y);
                 A[j + k + mid * ] = x + calc1(y) + calc2(z);
             }
 }
 int trans[][];
 int main(){
     scanf("%d%d%d", &m, &t, &p);
     po[] = ;
     for(Rint i = ;i <= m;i ++) po[i] = (LL) po[i - ] * ;
     n = po[m];
     for(Rint i = ;i <= m;i ++) po[i] %= p;
     if(p == ){
         for(Rint i = ;i < n;i ++) puts("");
         return ;
     }
     for(Rint i = ;i < n;i ++) scanf("%d", &A[i].x);
     for(Rint i = ;i <= m;i ++)
         for(Rint j = ;i + j <= m;j ++) scanf("%d", trans[i] + j);
     for(Rint i = ;i < n;i ++){
         cntx[i] = cntx[i / ] + (i %  == );
         cnty[i] = cnty[i / ] + (i %  == );
         B[i].x = trans[cntx[i]][cnty[i]];
         //printf("%d ", B[i].x);
     }
     //putchar('\n');
     dft(A); dft(B);
     //for(Rint i = 0;i < n;i ++) printf("(%d, %d)\n", A[i].x, A[i].y);
     //for(Rint i = 0;i < n;i ++) printf("(%d, %d)\n", B[i].x, B[i].y);
     for(Rint i = ;i < n;i ++) A[i] = A[i] * kasumi(B[i], t);
     idft(A);
     int inv, tmp;
     exgcd(n, p, inv, tmp);
     inv = (inv + p) % p;
     for(Rint i = ;i < n;i ++)
         printf("%d\n", (LL) A[i].x * inv % p);
 }

UOJ272