[sdoi 2010][bzoj 1925]地精部落（神仙dp）

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正整数。如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

数据范围与提示

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10^9

神仙题，太神仙了

最近在做组合数学，然后一看到这道题就想去打表找规律。手模了几组小样例后发现真的是毫无规律可言，于是开始找各种性质深陷其中，未果，寻病终。

然鹅，手模万岁

最后开始找i个数和i+1个数之间的关系，不断地往上一个序列里插数，过了一会转念一想，嗯？嗯？嗯？这不dp吗

然后就往dp上面想，这题总的来说还是思考了挺长时间。

一开始我想的是f[i][j]表示[1~i]的数且首项为j的方案总数（没想到这个状态数组定义的还挺接近于正解）。

然后又开始各种找规律，又手模了半天自己也发现了一些性质，但对于状态转移没有什么用，实在是想不出来了，就颓了题解。

题解真是神仙（蒟蒻博主看什么都神仙）。

我们姑且称满足题意的序列为抖动序列

首先我们来证明一波性质：

对于一个抖动序列，若j与j+1不相邻，则交换j与j+1后的序列仍为抖动序列。证明：若j与j+1不相邻那么与j或j+1相邻的数与j或j+1的差值至少为2，那么显然交换之后此序列仍为抖动序列。
如果将一个抖动序列中所有大于等于x的元素都加1，那么此序列仍为抖动序列。证明：我们先考虑每一个波谷和其两侧的波峰，我们可以分情况讨论若此部分三个数均大于或小于x，显然成立，如果此部分波谷小于x，而波峰大于x，加一，显然成立，因为每个小部分都成立，所以总体成立。（蒟蒻博主自己瞎搞的，可能是伪证，大神觉得有问题请指正）
把一个抖动序列的每一项i都变成n-i+1，那么此序列仍为抖动序列。证明（这绝逼是伪证，博主蒟蒻，各位神犇凑或者看吧）：（感受一下）其实这个定理大家想想就能想明白，就相当于如果一个数很大，那么减掉它之后就会变成一个小数，反之亦然，并且大小关系倒置。

然后就可以dp了，我们设f[i][j]为已经有i个数，且首项为j且j为波峰的方案总数。

既然确定了首项，我们在来考虑第二项，若第二项不为j-1，那么根据引理1，我们把所有这种情况下的序列都交换j与j-1的位置，交换之后的序列仍为抖动序列，那么这种情况方案数为f[i][j-1]。

我们在来考虑第二项为j-1的情况，这种情况就比较麻烦，我们去掉第一个数j后，所剩下的就只有[1~j-1]和[j+1~i],考虑把第二个区间减一那么就得到了一个[1~i-1]的抖动序列，再使j-1为波谷，

根据引理3，此种情况方案总数为f[i-1][i-1-(j-1)+1]=f[i-1][i-j+1]。

因为对称性我们把ans×2，就的到了结果。

下面是代码，用了滚动数组省空间

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 #define int long long

 const int M=;

 using namespace std;

 int f[][M];

 signed main(){

     int n,p;

     scanf("%lld%lld",&n,&p);

     int now=,pre=;

     f[now][]=;

     for(int i=;i<=n;i++){

         swap(now,pre);

         for(int j=;j<=i;j++){

             f[now][j]=(f[now][j-]+f[pre][i-j+])%p;

         }

     }

     int ans=;

     for(int i=;i<=n;i++){

         ans=(ans+f[now][i])%p;

     }

     ans*=;

     printf("%lld",(ans%p+p)%p);

 }

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