【BZOJ4833】最小公倍佩尔数（min-max容斥）

【BZOJ4833】最小公倍佩尔数（min-max容斥）

题面

BZOJ

题解

首先考虑怎么求\(f(n)\)，考虑递推这个东西

\((1+\sqrt 2)(e(n-1)+f(n-1)\sqrt 2)=e(n)+f(n)\sqrt 2\)

拆开之后可以得到：\(e(n)=e(n-1)+2f(n-1),f(n)=f(n-1)+e(n-1)\)。

把每一层的\(e\)都给展开，得到：\(\displaystyle f(n)=1+f(n-1)+2\sum_{i=1}^{n-2}f(i)\)

然后差分搞搞，\(\displaystyle f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-2)+2*f(n-2)\)。

得到\(f(n)=2f(n-1)+f(n-2)\)，特殊的\(f(0)=0,f(1)=1\)。

然后我们发现要求\(lcm\)，那么就先考虑\(f(a)\)和\(f(b)\)的\(gcd\)是什么。

这个东西显然可以类似斐波那契数列那样子利用辗转相减得到\(gcd(f(a),f(b))=f(gcd(a,b))\)。

接下来就可以考虑怎么求答案了。

然后\(lcm\)的式子是对于每个质因子，考虑其\(max\)。

考虑\(min-max\)容斥，把\(max\)变成\(min\)，那么就可以从\(lcm\)变成\(gcd\)。

然后把\(min-max\)容斥的式子给写出来：

\[max(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}min(T)
\]

套到\(lcm\)上就是：

\[lcm(S)=\prod_{T\subset S}gcd(T)^{(-1)^{|T|+1}}
\]

那么就有

\[g(n)=\prod_{T\subset S}f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}}=\prod_{i=1}^n f_i^{\sum_{T\subset S}[gcd(T)=i](-1)^{|T|+1}}
\]

上面那个指数看着就可以莫比乌斯反演一下之类的，然后令上面那一堆东西是\(a[i]\)，然后令\(b[i]=\sum_{i|d}a[d]\)这个系数稍微推一下，得到：

\[b[i]=\sum_{i|d}a[d]=\sum_{T\subset S}[i|gcd(T)](-1)^{|T|+1}
\]

这个值显然之和是否存在\(i\)倍数的数相关，存在就是\(1\)，没有就是\(0\)。

而莫比乌斯反演可以得到

\[a[i]=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})b[d]
\]

再把这个东西带回去

\[\begin{aligned}
g[n]&=\prod_{i=1}^n f_i^{a[i]}\\
&=\prod_{i=1}^n f_i^{\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})b[d]}\\
&=\prod_{i=1}^n\prod_{i|d}f_i^{\mu(\frac{d}{i})b[d]}
\end{aligned}\]

因为\(d\)的范围在\(n\)以内，所以必定存在\(d\)的倍数，所以\(b[d]=1\)，那么只需要提前一个\(log\)预处理后面一半就行了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 1000100
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int n,MOD;
bool zs[MAX];
int pri[MAX],mu[MAX],tot;
int f[MAX],g[MAX],s[MAX],inv[MAX];
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
void Sieve(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else{mu[i*pri[j]]=0;break;}
		}
	}
}
int main()
{
	Sieve(MAX-1);
	int T=read();
	while(T--)
	{
		n=read();MOD=read();
		f[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)f[i]=(2ll*f[i-1]+f[i-2])%MOD;
		for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=1,inv[i]=fpow(f[i],MOD-2);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
				if(mu[j/i]==1)s[j]=1ll*s[j]*f[i]%MOD;
				else if(mu[j/i]==-1)s[j]=1ll*s[j]*inv[i]%MOD;
		g[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=1ll*g[i-1]*s[i]%MOD;
		int ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*g[i]*i)%MOD;
		printf("%d\n",ans);
	}
}