2019年湖南省大学生计算机程序设计竞赛 (HNCPC2019) 简要题解

update10.01 突然发现叉姐把这场的题传到牛客上了，现在大家可以有地方提交了呢。

~~不知道该干什么所以就来水一篇题解~~

题解全是根据印象口胡的，代码是不可能重新写的，这辈子不可能重新写的。

A

description

有一个$n\times m$的全$0$矩阵，选择一个子矩阵全部修改成$1$，现在给出修改后的矩阵，问是否存在合法修改方案。
$1 \le n, m \le 10.$

solution

找到最左上的$1$和最右下的$1$，判断是否中间全是$1$，剩下的全是$0$就好了。

需要特判没有$1$的case。

B

description

给出$n,k$，求$\min(\binom{n}{k},10^{18})$。

$0 \le k \le n \le 10^9.$

solution

gzy写的，他一遍过了，反正gzynb就对了。

先令$k\le \lfloor\frac n2\rfloor$，然后再$O(k)$计算组合数，即每次乘一个数再除一个数，可以用long double或__int128判断是否超过$10^{18}$，一旦爆了就直接输出$10^{18}$。

C

description

给出一个长度为$n$的字符集大小为$m$的串，对于$\forall i\in[1,m]$，求往字符串后面新增一个字符$i$后增加了多少本质不同的子串。

$1 \le n,m \le 10^6.$

solution

枚举原串的一个后缀，找出这个后缀在串中的其他出现位置，此时可以更新这个位置往后一个字符对应的答案。

实现中可以使用后缀自动机（只要从自动机上原串对应的那个点出发一直跳$fail$就行了）或者exkmp（线性求原串与所有前缀的$lcs$）。

D

description

求有多少长度为$n$的序列$\{a_i\}$满足：

$a_i \in [0,9].$
满足$m$条限制，每条限制给出$l,r$，要求$\prod_{i=l}^ra_i \equiv 0 \bmod 9.$

方案数对$10^9+7$取模。

$1 \le n,m \le 50.$

solution

限制即为要求区间内存在至少两个$3$的质因子，在这里可以认为$0$包含$\infty$个$3$质因子。

记$dp_{i,j,k}$表示前$i$个位置，最近的两个$3$质因子在$j,k$的方案数，转移是先判掉不合法（对每个限制的右端点维护对应最大左端点），然后在考虑第$i+1$位上是填$\{0,9\}$还是$\{3,6\}$还是$\{1,2,4,5,7,8\}$。

E

description

给一个数字串$S$，要求将$S$划分成若干互不相同的$[0,99]$内的整数，不能含有前导零，求方案数。

$1 \le |S| \le 50.$

solution

直接搜。

考虑一位数（包括$0$）只有$10$个，那么确定了一位数的位置后剩下的划分也就随之确定了，假设数字$i$出现了$a_i$次，那么搜索的总状态数不超过$\prod_{i=0}^9(a_i+1) \le (\frac{\sum_{i=0}^9(a_i+1)}{10})^{10}=6^{10}$。

F

description

一个人初始在$(0,0)$，可以走不超过$n$步，每一步可以向右走不超过$a$步，或者向上走不超过$b$步，或者向左走不超过$c$步，或者向下走不超过$d$步，求这个人可到达的位置数$\bmod 10^9+7$。

$1 \le n,a,b,c,d \le 10^9.$

solution

等差数列求和直接算就好了。

G

description

有一个$n\times m$的矩阵$\{C_{ij}\}$，需要构造一个$m$阶排列$\sigma$，使得矩阵的所有列向量根据$\sigma$重新排列后满足行向量字典序单调不降。要求输出满足条件的字典序最小的

$1 \le n,m \le 2000.$

solution

考虑$n=2$，那么每一列的两个数的大小关系只有以下三种：$C_{1j}>C_{2j}$或$C_{1j}=C_{2j}$或$C_{1j}<C_{2j}$。由于需要满足第二行的字典序大于等于第一行，那么所有$C_{1j}>C_{2j}$的$j$都需要排在至少一个$C_{1k}<C_{2k}$的$k$后面。

这个限制可以抽象成：给出$\{1,2,...,m\}$的两个子集$A,B$，满足$A\cap B = \varnothing$，要求在最终的排列$\sigma$中，$B$中每个元素都至少排在一个$A$中元素的后面。

$n>2$的情况就是给出了多组$A,B$。

令每个点的入度为包含这个点的$B$集合数量，每次选择一个入度为零且编号最小的点（保证字典序最小）放在当前排列末尾，如果这个元素在某些$A$集合内是第一次出现，那么就把这个$A$对应的$B$中所有元素的入度减$1$。

总时间复杂度$O(nm+m\log m)$。

H

description

一张$n+m$个点的图，初始在$1$号点，每次在$i$号点的时候有$P_{i,j}$的概率走到$j$号点，保证$\forall i\in[n+1,n+m],P_{i,j}=[i=j]$。可以发现经过无限次行走后停留在前$n$号点上的概率是$0$，求停留在后$m$号点每个点的概率$\bmod 10^9+7$。

$1 \le n + m \le 500.$

solution

设$f_i$表示经过$i$点的期望次数，于是

\[f_1=\sum_{j=1}^nf_jP_{j,1}+1\\
f_i=\sum_{j=1}^nf_jP_{j,i}(i>1)\]

高斯消元解出$f_i$后随便算一下就好了。

I

description

给一棵树，边有边权，求有多少条路径满足边权和是$2019$的倍数。

$1 \le n \le 20000.$

solution

点分即可。

J

description

给出$n$个$m$元组$(a_1,a_2,...,a_m)$，记$count(x)$表示有多少个$m$元组满足$\forall j\in[1,m],popcount(a_j\land x)$为奇数。求$\sum_{x=0}^{2^k-1}count(x)3^x \bmod 10^9+7$。

$1 \le n \le 10^4, 1 \le m \le 10, 1 \le k \le 30, 0 \le a_i < 2^k.$

solution

对于每个$n$元组单独求答案然后相加即为答案。

把$m$元组写成一个$k\times m$的$01$矩阵，相当于选出一些行向量做异或运算，要求结果为$2^m-1$。直接按二进制位$dp$，记$f_{i,j}$表示处理完前$i$位，当前二进制状态为$j(j\in[0,2^m))$的方案数。

总复杂度是$O(nk2^m)$，大概能过的样子。

K

description

维护$n$个链表以及$m$次操作，每次操作为将一个链表剪切到另外一个的后边并将其翻转。

$1 \le n,m \le 10^5.$

solution

直接启发式合并即可。

不过要我写可能就直接上treap了。