LGOJP3959 宝藏

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题解

一开始想了一个错误的状压dp，水了40分。

这里先记录一下错误的做法：

错解：

设\(g[i,j,S]\)从\(i\)到\(j\)，只经过集合\(S\)中的点的最短路，这个可以\(O(n^3 2 ^ n)\)处理出来。

设\(f[S]\)表示生成树的集合为\(S\)时的最小代价，每次枚举起点，以及新加入生成树的点，利用\(g\)数组可以\(O(1)\)算出来\(K\)。总复杂度是\(O(n^3 2^n)\)

那么为什么错了呢？因为\(g[i,j,S]\)是一个点集内互达的点的\(\min\)，其涉及到的边集远大于生成树的边集，所以相当于利用了很多没有选的边来减少\(K\)，所以算出来的\(K\)是错误的。

正解：

设\(g[S]\)表示从集合\(S\)内的点出发，只走一条边可到达的点集（包括集合\(S\)内的点）。这个可以\(O(n^2 2^n)\)处理。

设\(f[i,S]\)为生成树最大树高为\(i\)，目前生成树集合为\(S\)的最小代价。

我们枚举\(S\)的子集\(S0\)，设其在\(S\)为全集时的补集为\(S1\)，那么当\(g[S0]|S=g[S0]\)时（即通过\(S0\)的中的点可以到达当前集合\(S\)中全部的点），\(f[i][S]=\min\{f[i-1][S0]+cost \}\)。\(cost\)即为将\(S1\)与\(S0\)合并为\(S\)的最小代价。

这里有一个很重要的结论，在最优解中，拓展的集合\(S1\)在\(S\)中树高均为\(i\)（\(S0\)中最大树高为\(i-1\)）。

考虑证明，假设有一个点\(x(x\in S0)\)，有边\(d[y][x]>d[z][x],dep_y<dep_z\)，满足\(d[y][x]*(dep_y+1)<d[z][x]*(dep_z+1)\)。

那在当\(y\)为生成树集中的最深点时一定已经拓展到了点\(x\)，所以一定有另一状态\(S_2\)可以转移到\(S\)使答案最优。

即最优解中的生成树一定可以按深度拓展。

所以转移时的\(cost\)只需枚举\(S_1\)中的点，求出\(S_1\)到\(S_0\)中的点的\(\min_{dis}\)之和，乘上\(i\)，就是这次加边的\(cost\)。

初始化\(f[2^k]=0(k\in [0,n-1])\)。答案即为所有集合\(S\)为全集时的\(f\)值的\(\min\)。

不看题解还是不会写...

因为状压枚举子集的复杂度是\(O(3^n)\)。所以总复杂度是\(O(n^2 3 ^n)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int N = 13;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, m, w[N][N];
int f[N][(1<<N)+10], g[(1<<N)+10];

int main() {
	memset(w, 0x3f, sizeof(w));
    cin >> n >> m;
    for(int u, v, k, i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> u >> v >> k;
        --u; --v;
        w[u][v] = w[v][u] = min(w[u][v], k);
    }
    for(int S = 1; S < 1 << n; ++S)
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            if((S >> i) & 1) {
                w[i][i] = 0; g[S] |= 1 << i;
                for(int j = 0; j < n; ++j)
                    if(w[i][j] != inf) g[S] |= 1 << j;
            }
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    for(int i = 0; i < n; ++i) f[0][1 << i] = 0;
    for(int S = 1; S < 1 << n; ++S) {
        for(int S0 = S - 1; S0; S0 = (S0 - 1) & S) {
            int S1 = S ^ S0;
            int sum = 0;
            if((g[S0] | S) == g[S0]) {
                for(int i = 0; i < n; ++i) {
                    if((S1 >> i) & 1) {
                        int tmp = inf;
                        for(int j = 0; j < n; ++j) {
                            if(((S0 >> j) & 1))
                                tmp = min(tmp, w[i][j]);
                        }
                        sum += tmp;
                    }
                }
                for(int i = 1; i < n; ++i) { // 树高
                    if(f[i - 1][S0] != inf)
                        f[i][S] = min(f[i][S], f[i - 1][S0] + i * sum);
                }
            }
        }
    }
    int ans = inf;
    for(int i = 0; i < n; ++i) ans = min(ans, f[i][(1 << n) - 1]);
    printf("%d\n", ans);
}