【BZOJ1257】[CQOI2007] 余数之和（数学题）

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大致题意： 求\(\sum_{i=1}^nk\%i\)。

关于除法分块

这是一道除法分块的简单应用题。

式子转换

显然\(k\%i\)是一个很难处理的项。

于是我们就要使用使用一个常用的套路：将\(k\%i\)转化为\(k-\lfloor\frac ki\rfloor*i\)。

代入原式就是这样：

\[\sum_{i=1}^nk-\lfloor\frac ki\rfloor*i
\]

由于\(k\)与\(i\)无关，所以我们可以将它提出，得到：

\[n*k-\sum_{i=1}^n\lfloor\frac ki\rfloor*i
\]

减号左边的式子显然可以\(O(1)\)算出，而右边的式子显然可以想到用除法分块\(O(\sqrt n)\)求解。

总复杂度\(O(\sqrt n)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
using namespace std;
int n,m;
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
int main()
{
    int i,nxt;register LL ans;
    for(F.read(n),F.read(m),ans=1LL*n*m,i=1;i<=n;i=nxt+1)//读入n,m，初始化ans
        nxt=m/i?min(m/(m/i),n):n,ans-=1LL*(m/i)*(nxt-i+1)*(i+nxt)>>1;//除法分块
    return F.write(ans),F.end(),0;//输出答案
}