【hdu3652】数位dp（浅尝ACM-A)

向大佬学习

第一次写博客有点紧张，也算是小萌新的突破吧

这次主要是总结一下校内的ACM比赛的各种题，主要是新思路以及学到的新知识

先放一张

下面开始说正事

题面

A wqb-number, or B-number for short, is a non-negative integer whose decimal form contains the sub- string “13” and can be divided by 13. For example, 130 and 2613 are wqb-numbers, but 143 and 2639 are not. Your task is to calculate how many wqb-numbers from 1 to n for a given integer n.

Input

Process till EOF. In each line, there is one positive integer n(1 <= n <= 1000000000).

Output

Print each answer in a single line.

Sample Input

13

100

200

1000

Sample Output

1

1

2

2

乍眼一看，像极了数位dp，可是怎么判断是否能被13整除呢？之前学过做过的数位dp的限制条件都是有没有包含某数、不包含某数等。这告诉我们需要新思维了。

我们来回想一下普通的数位dp

ll dfs(int pos,,bool lead,bool limit)
{
    if(pos==-1) return 1;
    if(!limit && !lead && dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state];  

    int up=limit?a[pos]:9;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        if() ...
        else if()...
        ans+=dfs(pos-1,,lead && i==0,limit && i==a[pos])
    }
    if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;
    return ans;
}  

其实就是记忆化搜索，其中dp[]表示第pos位的state状态，之所以可以直接调用返回，是因为不管前面的位怎么搞，只要符合第pos位的state状态，后面的情况就都定了，所以只需算一次，储存以后直接调用（limit==1要单独计算，以前就在这里挂了）

那么现在重点来了，state是一个很是重要的突破点，以前的思维就局限在“13”出现过没有，而处理能否被13整除，即为 i mod 13 == 0

所以dp数组就确定了： dp[i][j][k]，i表示第i位，j=0,1,2，j=0表示还没有出现过“13”，j=1表示前一位是“1”，j=2表示已经出现了“13”，k表示当前的数mod13的值。

转移方程：

1、j=0，（1）该位为“1”，下传j=1；（2）不为“1”，下传j=0

2、j=1，（1）“3”，j=2：（2）“1”，j=1；（3）else，j=0；

3、j=2，直接下传j=2

4、k=（k*10）% 13（想想为什么）

然后就显而易见了

下面放代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

char  a[15];
int b[15],len;
int dp[15][3][13];

int dfs(int pos,bool limit,int appr,int mod,bool lead){//注意还要判断前导零的问题
    if(pos==len+1){
        if(appr==2&&mod==0&&lead==0) return 1;
        else return 0;
    }
    if((!limit)&&dp[pos][appr][mod]!=-1) return dp[pos][appr][mod];
    int up=limit?b[pos]:9;
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=up;i++){
        if(appr==0){
            if(i==1) ans+=dfs(pos+1,(limit==1&&i==up),1,(mod*10+i)%13,(i==0&&lead==1));
            else ans+=dfs(pos+1,(limit==1&&i==up),0,(mod*10+i)%13,(i==0&&lead==1));
        }
        if(appr==1){
            if(i==3) ans+=dfs(pos+1,(limit==1&&i==up),2,(mod*10+i)%13,(i==0&&lead==1));
            else if(i==1) ans+=dfs(pos+1,(limit==1&&i==up),1,(mod*10+i)%13,(i==0&&lead==1));
            else ans+=dfs(pos+1,(limit==1&&i==up),0,(mod*10+i)%13,(i==0&&lead==1));
        }
        if(appr==2) ans+=dfs(pos+1,(limit==1&&i==up),2,(mod*10+i)%13,(i==0&&lead==1));
    }
    if(!limit) dp[pos][appr][mod]=ans;
    return ans;
}
int main(){
    while(scanf("%s",a+1)!=EOF){
        len=strlen(a+1);
        for(int i=1;i<=len;i++){
            b[i]=a[i]-'0';
        }
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        int ans=dfs(1,1,0,0,1);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

总结：

对数位dp有了更新的认识，各种不同的限制条件可以化为多个state，state是状态，不只是出现了什么数字而已