luogu2513 逆序对数列

我们令\(f[i][j]\)表示\(i\)的全排列中，逆序数为\(j\)的个数。

我们考虑在\(i-1\)的排列中插入\(i\)。\(k\)是这次更新会导致增加多少逆序数。

则\(\begin{aligned}{} f[i][j]=\sum_{k=0}^{\min(i-1,j)}f[i-1][j-k]\end{aligned}\)

自我感觉上面的写法不清真，所以换一个清真的等价写法。

\(\begin{aligned}{} f[i][j]=\sum_{k=max(0,j-i+1)}^{j}f[i-1][k]\end{aligned}\)

复杂度：\(O(nk^2)\)，显然会tle。

我们观察这个式子，k是从0开始循环的，所以我们用前缀和优化dp。

我们开一个变量\(\begin{aligned}sum=\sum_{k=max(0,j-i+1)}^jf[i][k]\end{aligned}\)

每次j循环的时候让，把\(f[i-1][j]\)累加到\(sum\)，然后让\(f[i][j]=sum\)即可

但\(sum\)的求和区间是长度为i的一段f数组，当\(j-i+1>=0\)的时候sum求和区间的左端点也要离开0，向右移动了，所以加一个右面的\(f[i-1][j]\)，同时要判断sum的左端点是否大于0，如果是那么就减去左边的\(f[i-1][j-i+1]\)。(不理解？看下面)

欢迎收看新番：区间先生的旅程
这是我们的主人公[---]：区间先生，长度为5
[---]说他只是一个走过场的区间
t=0, ................
t=1, ]...............
t=2, -]..............
t=3, --].............
t=4, ---]............
t=5, [---]...........
t=6, .[---]..........//注意这里，区间先生的左端点脱离了0
t=7, ..[---].........//未完待续？？？
...
t=?, ...........[---]//因为我们只需要求到k，所以区间先生不用从右端离开，也就不用判断右端是否<=k了

这就是为什么要加一个if判断一下。

其实这个if可以放到前面的额不过懒得写了

复杂度:\(O(nk)\)

总结：以后我们发现有这种累加和的dp方程的时候可以考虑前缀和优化

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

int n, k, p = 10000, f[1010][1010];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    f[1][0] = 1;//初始条件，1的逆序为0，且只有1个排列
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j <= k; j++)
        {
            (sum += f[i - 1][j]) %= p;
            f[i][j] = sum;
            if(j >= i - 1)//如果j - i + 1>=0了，sum的求和区间左端点就>=0
                (((sum -= f[i - 1][j - i + 1]) %= p)+= p) %= p;
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][k]);
    return 0;
}