HDU 4089 Activation：概率dp + 迭代【手动消元】

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4089

题意：

　　有n个人在排队激活游戏，Tomato排在第m个。

　　每次队列中的第一个人去激活游戏，有可能发生以下四种情况：

　　　　（1）激活失败，继续留在队首，等待下一次激活。

　　　　（2）连接失败，退到队尾。

　　　　（3）激活成功，离开队列。

　　　　（4）服务器瘫痪。

　　发生的概率分别为p1,p2,p3,p4。

　　问你服务器瘫痪时，Tomato的位置<=k的概率。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = probability

　　　　表示当前还有i个人在排队，Tomato在位置j。在这以及之后服务器瘫痪时，Tomato位置<=k的概率。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n][m]

　　如何转移:

　　　　按着四种情况分别写就好：

　　　　　　（1）j == 1:  dp[i][1] = dp[i][1]*p1 + dp[i][i]*p2 + p4

　　　　　　（2）2<=j<=k: dp[i][j] = dp[i][j]*p1 + dp[i][j-1]*p2 + dp[i-1][j-1]*p3 + p4

　　　　　　（3）k<j<=i:  dp[i][j] = dp[i][j]*p1 + dp[i][j-1]*p2 + dp[i-1][j-1]*p3

　　　　令p21 = p2/(1-p1), p31 = p3/(1-p1), p41 = p4/(1-p1)

　　　　化简得：

　　　　　　（1）j == 1:  dp[i][1] = dp[i][i]*p21 + p41

　　　　　　（2）2<=j<=k: dp[i][j] = dp[i][j-1]*p21 + dp[i-1][j-1]*p31 + p41

　　　　　　（3）k<j<=i:  dp[i][j] = dp[i][j-1]*p21 + dp[i-1][j-1]*p31

　　边界条件：

　　　　dp[1][1] = dp[1][1]*(p1+p2) + p4

　　　　解得：dp[1][1] = p4/(1-p1-p2)

　　然而这并没有结束……

　　转移的时候显然先枚举i，在枚举j。

　　可是j在当前的i中，是往两个方向转移的：

　　　　dp[i][j]需要用到前面的dp[i][j-1]，而dp[i][1]又用到了后面的dp[i][i]……QAQ

　　所以迭代一下，先解出dp[i][1]：

　　　　每一个dp[i][j]都可以表示成 dp[i][j] = p*dp[i][1] + c 的形式。

　　　　显然对于最初的dp[i][1]: p = 1, c = 0

　　　　对于后面的每一个dp[i][j]: p *= p21, c = c*p21 + dp[i-1][j-1]*p31 + (j<=k)*p41

　　　　这样就由前一项的p和c，推出了当前的p和c。

　　　　推啊推，直到推出了：dp[i][i] = p*dp[i][1] + c

　　　　这时就可以代入解方程了：

　　　　　　代入原来的递推式dp[i][1] = dp[i][i]*p21 + p41中

　　　　　　得到：dp[i][1] = p21*(p*dp[i][1] + c) + p41

　　　　　　解得：dp[i][1] = (p21*c + p41)/(1 - p*p21)

　　然而还是没有结束……

　　这题丧病卡空间……所以用滚动数组。

　　由于转移的时候要用到dp[0][j]的0值，所以第一维MAX_N变成3，i=1,2轮流使用。

　　这样就好啦~~~

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 2005
 #define cal(x) ((!(x))?0:(2-((x)&1)))
 
 using namespace std;
 
 int n,m,k;
 double p1,p2,p3,p4;
 double dp[][MAX_N];
 
 int main()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     while(scanf("%d%d%d%lf%lf%lf%lf",&n,&m,&k,&p1,&p2,&p3,&p4)!=EOF)
     {
         if(p4<1e-)
         {
             printf("0.00000\n");
             continue;
         }
         double p21=p2/(-p1);
         double p31=p3/(-p1);
         double p41=p4/(-p1);
         dp[cal()][]=p4/(-p1-p2);
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(i>)
             {
                 double p=1.0,c=;
                 for(int j=;j<=i;j++)
                 {
                     p*=p21;
                     c=c*p21+dp[cal(i-)][j-]*p31;
                     if(j<=k) c+=p41;
                 }
                 dp[cal(i)][]=(c*p21+p41)/(-p*p21);
             }
             for(int j=;j<=i;j++)
             {
                 dp[cal(i)][j]=dp[cal(i)][j-]*p21+dp[cal(i-)][j-]*p31;
                 if(j<=k) dp[cal(i)][j]+=p41;
             }
         }
         printf("%.5f\n",dp[cal(n)][m]);
     }
 }