hdu6397 Character Encoding 母函数解约束条件下多重集
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6397
原问题的本质是问m个元素的多重集S,每一种类型的对象至多出现n-1次的S的k组合的个数是多少?
等价于 x1+x2+...+xm=k 0<xi<=n-1 的解的个数
当xi没有上限(xi<=n-1)时由隔板法得C(k+m-1,m-1)
而有上限时,方法是构造母函数(1+x+....+x^(n-1))^m 答案是x^k的系数
对母函数用等比数列求和再二项式展开加泰勒展开得答案。orz(解法来自知乎,侵删)
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define rep(i,t,n) for(int i =(t);i<=(n);++i)
#define per(i,n,t) for(int i =(n);i>=(t);--i)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long ll;
const int maxn = 5e5 + ;
const ll mod = ; int n, m, k; ll inv[maxn], f[maxn], fac[maxn];
ll c[maxn];
long long kpow(long long a, long long n) {
long long res = ;
while (n > ) {
if (n & )res = res * a%mod;
a = a * a%mod;
n >>= ;
}
return res;
}
void init() {
f[] = ; f[] = ;
fac[] = fac[] = ;
inv[] = ;
rep(i, , maxn) {
fac[i] = fac[i - ] * (ll)i % mod;
inv[i] = kpow(fac[i], mod - );
}
}
ll C(int n, int m) {
if (n < m) return 0ll;
if (m == || n == m) return 1ll;
if (n - == m || m == ) return n;
return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
} int main() {
int t;
cin >> t;
init();
while (t--) {
cin >> n >> m >> k;
mmm(c, );
ll fl = ;
ll ans = ;
rep(r, , k / n) {
ans += fl * C(m, r)*C(m + k - n * r - , k - n * r) % mod; fl = -fl;
if (ans < )ans += mod;
ans %= mod;
}
cout << ans << endl;
} }
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