bzoj 3122 随机数生成器 - BSGS

Description

Input

输入含有多组数据，第一行一个正整数T，表示这个测试点内的数据组数。  
 
接下来T行，每行有五个整数p，a，b，X1，t，表示一组数据。保证X1和t都是合法的页码。

注意：P一定为质数

Output

共T行，每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页，输出-1。

Sample Input

3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1

Sample Output

1
3
-1

HINT

0<=a<=P-1,0<=b<=P-1,2<=P<=10^9

题目大意

　　给定一个序列$X$的首项$x_{1}$，序列$X$满足递推关系$x_{n + 1} = (a\cdot x_{n} + b)\mod p$，其中这里的$mod$表示求余数。问序列中哪个数第一次为$t$，或者输出无解。

　　显然递推关系对方程不是特别友好，所以考虑求序列的通项。

　　由于这里用特征根的方法来求会很繁琐，所以直接展开：

$x_{n} = \left ( a\cdot x_{n - 1} + b \right ) \mod p$

$x_{n} = \left ( a^{2}\cdot x_{n - 2} + ab + b \right ) \mod p$

$x_{n} = \left ( a^{n - 1}\cdot x_{1} + a^{n-2}b + \cdots + ab + b \right ) \mod p$

　　用等比数列求和公式得到：

$x_{n} = \left [ a^{n - 1}\cdot x_{1} + \frac{\left (a^{n - 1} - 1  \right )b}{a - 1}\right ] \mod p\ \ \ (a \neq 1)$

$x_{n} = \frac{a^{n - 1}\cdot x_{1}\left ( a - 1 \right ) + \left (a^{n - 1} - 1  \right )b}{a - 1} \mod p\ \ \ (a \neq 1)$

$x_{n} = \frac{a^{n - 1}\cdot\left [ x_{1}\left ( a - 1 \right ) + b  \right ]  - b}{a - 1} \mod p\ \ \ (a \neq 1)$

　　然后再移项：

$a^{n - 1}\cdot\left [ x_{1}\left ( a - 1 \right ) + b  \right ] \equiv \left ( a - 1 \right )x_{n} + b \pmod{p}\ \ \ (a \neq 1)$

　　BSGS解方程即可。

　　继续考虑$a = 1$的情况，此时有：

$x_{n} \equiv x_{1} + \left ( n - 1 \right )b \pmod{p} \ \ \left ( a = 1 \right )$

　　写成不定方程的形式：

$n\cdot b + k\cdot p = x_{n}+ b - x_{1}\ \ \left ( a = 1 \right )$

　　直接扩欧算答案。

　　注意一个细节，扩欧如果算出答案模$p$为0，那么应该输出$p$，因为这里求的是最小正余数。

　　似乎$a = 0$的时候，要加点处理，不然扔进去的东西变成负数，BSGS也会出事情。干脆直接特判。

Code

 /**
  * bzoj
  * Problem#3122
  * Accepted
  * Time: 268ms
  * Memory: 2028k
  */
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;

 typedef class HashMap {
     private:
         static const int M = ;
     public:
         int ce;
         int h[M], key[M], val[M], next[M];

         HashMap() {    }

         void insert(int k, int v) {
             int ha = k % M;
             for (int i = h[ha]; ~i; i = next[i])
                 if (key[i] == k) {
                     val[i] = v;
                     return;
                 }
             ++ce, key[ce] = k, val[ce] = v, next[ce] = h[ha], h[ha] = ce;
         }

         int operator [] (int k) {
             int ha = k % M;
             for (int i = h[ha]; ~i; i = next[i])
                 if (key[i] == k)
                     return val[i];
             return -;
         }

         void clear() {
             ce = -;
             memset(h, -, sizeof(h));
         }
 }HashMap; 

 int qpow(int a, int pos, int m) {
     int pa = a, rt = ;
     for ( ; pos; pos >>= , pa = pa * 1ll * pa % m)
         if (pos & )
             rt = rt * 1ll * pa % m;
     return rt;
 }

 int gcd (int a, int b) {
     return (b) ? (gcd(b, a % b)) : (a);
 }

 void exgcd(int a, int b, int& d, int &x, int &y) {
     if (!b)
         d = a, x = , y = ;
     else {
         exgcd(b, a % b, d, y, x);
         y -= (a / b) * x;
     }
 }

 int inv(int a, int n) {
     int d, x, y;
     exgcd(a, n, d, x, y);
     return (x < ) ? (x + n) : (x);
 }

 int T;
 int p, a, b, x1, t;

 inline void init() {
     scanf("%d%d%d%d%d", &p, &a, &b, &x1, &t);
 }

 HashMap mp;
 inline int ind(int x, int a, int p, int pro) {
     mp.clear();
     int cs = sqrt(p -  + 0.5);
     int ainv = inv(x, p), iap = a * 1ll * qpow(ainv, cs - , p) % p;
     for (int i = cs - ; ~i; i--, iap = iap * 1ll * x % p)
         mp.insert(iap, i);
     int cp = qpow(x, cs, p), pw = pro;
     for (int i = ; i < p; i += cs, pw = pw * 1ll * cp % p)
         if (~mp[pw])
             return mp[pw] + i;
     return -;
 }

 inline int solve1() {
     if (!b)    return (t == x1) ? () : (-);
     int d, x, y, go = t + b - x1;
     exgcd(b, p, d, x, y);
     x = x * 1ll * go % p;
     return (x <= ) ? (x + p) : (x);
 }

 inline void solve() {
     if (a == )
         printf("%d\n", (t == x1) ? () : ((b == t) ? () : (-)));
     else if (a == )
         printf("%d\n", solve1());
     else
         printf("%d\n", ind(a, ((a - ) * 1ll * t + b) % p, p, (x1 * 1ll * (a - ) + b) % p) + );
 }

 int main() {
     scanf("%d", &T);
     while (T--) {
         init();
         solve();
     }
     return ;
 }