C#中的函数式编程：递归与纯函数（二）

在序言中，我们提到函数式编程的两大特征：无副作用、函数是第一公民。现在，我们先来深入第一个特征：无副作用。

无副作用是通过引用透明(Referential transparency)来定义的。如果一个表达式满足将它替换成它的值，而程序的行为不变，则称这个表达式是引用透明的。

现在，我们不妨进行一个尝试：我们来实现一些函数，但是这次有一个限制：只能用无副作用的表达式。

先以素数判定为例子，我们要写一个函数bool IsPrime(int n)，它返回这个整数是不是素数。简单起见，我们采用最朴素的方法：依次检查2~n-1的整数，如果存在n的因子，则返回false，否则返回true.

这种问题的原始做法是使用循环，但是使用循环需要修改循环变量的值，从而产生副作用。

那怎么办了？有一个和循环关系紧密的概念——递归。递归不会改变变量的值，我们尝试用递归实现。

直接对IsPrime递归似乎不太可行，我们需要写一个辅助方法IsPrimeLoop。这个方法的参数除了n以外还有一个辅助参数acc，这个辅助参数起到类似循环变量的作用，它表示当前我们正在尝试的因子。

那这个函数要怎么实现呢？我们约定从小到大枚举整数，那么当acc == n时，循环就结束了，返回true。若acc != n，则循环继续。接着我们需要判断acc是不是n的因子，如果是，则n不是素数，返回false，否则继续递归循环。

借助这个辅助函数，我们只要调用IsPrimeLoop(n, 2)就可以判断了。代码如下：

private static bool IsPrimeLoop(int n, int acc) =>
    (acc == n) || (n % acc !=  && IsPrimeLoop(n, acc + ));
public static bool IsPrime(int n) =>
    n >=  && IsPrimeLoop(n, );

注意到，这里的辅助函数IsPrimeLoop是私有的，因为这个函数是专门供IsPrime调用的，它的访问范围应该限制在IsPrime内。在C#6及以前，这是做不到的，只能把它设定为类私有尽可能减小访问范围。在C#7，我们可以利用内部函数进一步完善。

public static bool IsPrime(int n)
{
    bool Loop(int acc) =>
        (acc == n) || (n % acc !=  && Loop(acc + ));
 
    return n >=  && Loop();
}

这时我们的Loop函数可以省略掉参数n，而且Loop的访问范围被限制在了IsPrime内。这样，我们就能在无副作用的前提下，实现素数的判定函数。

注意到，由于我们的IsPrime函数没有用到任何有副作用的表达式，所以，我们可以保证调用IsPrime也不会产生任何副作用。一般的，如果一个函数满足对它的调用一定是引用透明的，我们称这个函数为纯函数。

下面我们来做一个练习，这里我需要你用递归实现阶乘函数int Fact(int n)，当n>0时返回1*2*3*...*n的值，当n<=0时返回1，不考虑结果溢出的情况。你的实现不应该包含有副作用的表达式。

如果你完成了，请往下看。

下面我给出两个你可能的实现

public static int Fact(int n) =>
    n <=  ?  : n * Fact(n - );

public static int Fact(int n)
{
    int Loop(int acc, int result) =>
        acc > n ? result : Loop(acc + , result * acc);
 
    return Loop(, );
}

当然，你的具体写法可能有所不同，但基本上可以归为两类。一类是像第一个那样，利用Fact(n)=n * Fact(n-1)进行递归；还有就是就像第二个那样，通过递归来让参数acc从1到n循环，并乘进一个结果变量result.

直观来看，第一个函数会更“递归”一点，而第二个函数则更像用递归实现的循环。为了进一步揭析这两个实现的区别，我们来手动展开一下两个版本的Fact(5)的递归过程：

版本一：

Fact(5) = 5 * Fact(4)

= 5 * 4 * Fact(3)

= 5 * 4 * 3 * Fact(2)

= 5 * 4 * 3 * 2 * Fact(1)

= 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * Fact(0)

= 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1

= 120

版本二：

Fact(5) = Loop(1, 1)

= Loop(2, 1)

= Loop(3, 2)

= Loop(4, 6)

= Loop(5, 24)

= Loop(6, 120)

= 120

发现没有？版本一的式子会逐渐变长，而版本二的式子长度则保持不变。这是因为，后者是尾递归。尾递归的定义为递归调用被立刻返回的递归。尾递归的特点是它理论上不需要额外的空间存储递归信息，就像我们展开式子那样，尾递归占用的空间是恒定的，而非尾递归调用则需额外的空间储存信息。事实上，尾递归和循环是等价的，因为尾递归可以想象成跳转到函数开头，只不过这个“跳转”是无副作用的。因此，我们可以用尾递归去实现循环，从而去除副作用。由于尾递归具有这种好处，我们通常尽可能的使用尾递归，只有在无法转换成尾递归，或者递归层数不大时，才使用非尾递归。

注意到我前面提到尾递归理论上不需要额外空间，但是很多语言在实现尾递归的时候会消耗栈空间的。比如JVM的尾递归会消耗栈空间，一些诸如Scala等编译到JVM的语言会将尾递归转换成循环从而防止栈溢出。但是C#编译器没有这个操作，那.NET在进行尾递归时会消耗栈空间吗？我们不妨来试一下。我的测试环境是.NET Core，使用之前定义的IsPrime函数，然后给它传入int.MaxValue，运行。

嗯，栈溢出了。

根据目前的实验结果，.NET在实现尾递归时会消耗栈空间。但是我用的是Debug模式，那切换到Release模式会怎样呢?

哈！没有溢出！

从上面实验可以看出，.NET Core在Debug模式下尾递归会消耗栈空间，Release模式不会。

因此，我们可以通过打开Release模式来避免尾递归产生栈溢出错误。

现在，递归相关的知识已经介绍完了。现在我们来讲讲递归的价值。

有的人觉得既然循环可以解决问题，那就没必要花时间去学什么递归；而有的人则觉得循环是魔鬼的，都应该改成递归。事实上，这两种极端的想法都是错误的。

递归的价值在于它能保证你写的函数是纯函数，从而降低一些意外的副作用产生的可能性。还记得序言的那个例子吗？那个程序就可以用尾递归实现来避免bug的产生。

当然，如果你要我写一个阶乘算法，或者写一个素数判断算法，我肯定用for循环。因为这个函数足够简单，我有自信做到，即使我的函数产生了副作用，但是这个副作用只是局部的，整个函数还是纯的函数。

但是，当程序复杂时，尤其是产生闭包时，这些副作用会比较隐晦，此时，使用尾递归能降低代码出错的几率。

尾递归还有一种好处：它能减少代码逻辑上的复杂性。我见过有一些好几重循环嵌套的程序，循环变量之间还相互依赖，逻辑非常复杂。但是，如果你把它改成尾递归，你就需要将循环转为一个或多个递归函数，从而使得逻辑结构更加的清晰。

最后，用一句话总结，递归应该减少你的负担，而不是成为你的负担。

习题：

一、用尾递归改写序言中提到的副作用产生bug的例子。

二、对于斐波那契数列数列fib(n)定义为：当n<=2时，fib(n)=1；当n>2时，fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)。分别用尾递归和非尾递归实现fib，并比较两个实现的效率差异。你能解释其中的原因吗？