【bzoj 1414】对称的正方形 单调队列+manacher

Description

Orez很喜欢搜集一些神秘的数据，并经常把它们排成一个矩阵进行研究。最近，Orez又得到了一些数据，并已经把它们排成了一个n行m列的矩阵。通过观察，Orez发现这些数据蕴涵了一个奇特的数，就是矩阵中上下对称且左右对称的正方形子矩阵的个数。 Orez自然很想知道这个数是多少，可是矩阵太大，无法去数。只能请你编个程序来计算出这个数。

Input

文件的第一行为两个整数n和m。接下来n行每行包含m个正整数，表示Orez得到的矩阵。

Output

文件中仅包含一个整数answer，表示矩阵中有answer个上下左右对称的正方形子矩阵。

Sample Input

5 5
4 2 4 4 4
3 1 4 4 3
3 5 3 3 3
3 1 5 3 3
4 2 1 2 4

Sample Output

27

数据范围
对于30%的数据 n，m≤100
对于100%的数据 n，m≤1000 ，矩阵中的数的大小≤109

题解：

　　蒟蒻写了4h……（本来是想怂，但看到人家说gang了一晚上，然后默默关了网页自己去作了），还有，膜bzoj 1414榜上900B+400MS大佬。

　  首先用manacher，双倍复制原数组，跑出$P_{0,i,j},P_{1,i,j}$，分别表示第i行j列的横着的和竖着的回文半径。

　　显然只要求出每个位置的最大正方形边长答案就出来了。

　　我们以每个位置$(i,j)$为坐标轴原点，显然，我们只要得到x，y轴上的回文半径即可。先讨论x非负轴。同时，对于每个位置我们可以观察发现，在x轴上的位置，应该满足其$x-p[1][i][x]+1<=j$。然后发现对于$(i,j+1)$是可以继承满足$(i,j)$的一部分点，而不能继承的只有$(i,j)$在x轴对应点，同时我们可能会有一部分新点加入$(i,j+1)$的集合点。(⊙v⊙)嗯，这不就是队列的时间关系嘛。

　　然后怎么选取$(i,j)$所能得到的此时尽可能最大值边长呢。我们可以画个图，观察发现，我们在$(i,j)$点集的选取，只和最小值有关，所以当出现第一个不满足$x-p_{1,i,x}+1<=j$的点就没必要再在非负半轴上往后扫了。

　　证明的话倒是挺简单的，就不多说了。

　　以上一结合就得到了我们需要的数据结构，单调队列。

　　那么对于x非正半轴以及y轴的情况也与x非负半轴的情况相同。时间复杂度$O(n^{2})$

　　最后答案累加每个$（i，j）$奇偶性相同的位置即可。

Ps：可能是我打得蠢……都跑不过带$log$的……

代码：

　　

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 inline int read(){
     int s=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'')   ch=getchar();
     while(ch>=''&&ch<='') s=s*+(ch^),ch=getchar();
     return s;
 }
 int n,m;
 int Mar[][];
 int p[][][];
 inline void manacher(){
     for(int i=;i<=*n+;i++){
         int pos,mar=;
         for(int j=;j<=*m+;j++){
             if(mar>j)   p[][i][j]=min(p[][i][pos*-j],mar-j-);
             else    p[][i][j]=;
             while(Mar[i][j-p[][i][j]]==Mar[i][j+p[][i][j]])   p[][i][j]++;
             if(mar<j+p[][i][j]-)
                 mar=j+p[][i][j]-,pos=j;
         }
     }
     for(int i=;i<=*m+;i++){
         int pos,mar=;
         for(int j=;j<=*n+;j++){
             if(mar>j)   p[][i][j]=min(p[][i][pos*-j],mar-j-);
             else    p[][i][j]=;
             while(Mar[j-p[][i][j]][i]==Mar[j+p[][i][j]][i])   p[][i][j]++;
             if(mar<j+p[][i][j]-)
                 mar=j+p[][i][j]-,pos=j;
         }
     }
 }
 int que[],l,r;
 int re[][];
 int main(){
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             Mar[i<<][j<<]=read();
     for(int i=;i<=*n+;i++)
         Mar[i][]=-,Mar[i][m+<<]=-;
     for(int i=;i<=*m+;i++)
         Mar[][i]=-,Mar[n+<<][i]=-;
     manacher();
     for(int i=;i<=*n;i++){
         l=,r=;
         for(int j=((i^)&)+,k=;j<=*m+;j+=){
             while(k<=*m+&&k-p[][k][i]+<=j){
                 while(l<=r&&p[][que[r]][i]>=p[][k][i])
                     r--;
                 que[++r]=k;
                 k++;
             }
             while(l<=r&&que[l]<j)
                 l++;
             re[i][j]=min(que[r]-j+,p[][que[l]][i]);
         }
         l=,r=;
         for(int j=*m+-((i^)&),k=*m+;j>=;j-=){
             while(k&&k+p[][k][i]->=j){
                 while(l<=r&&p[][que[r]][i]>=p[][k][i])
                     r--;
                 que[++r]=k--;
             }
             while(l<=r&&que[l]>j)
                 l++;
             re[i][j]=min(min(j-que[r]+,p[][que[l]][i]),re[i][j]);
         }

     }
     for(int i=;i<=*m;i++){
         l=,r=;
         for(int j=+((i^)&),k=;j<=*n+;j+=){
             while(k<=*n+&&k-p[][k][i]+<=j){
                 while(l<=r&&p[][que[r]][i]>=p[][k][i])
                     r--;
                 que[++r]=k;
                 k++;
             }
             while(l<=r&&que[l]<j)
                 l++;
             re[j][i]=min(min(que[r]-j+,p[][que[l]][i]),re[j][i]);
         }
         l=,r=;
         for(int j=*n+-((i^)&),k=*n+;j;j--){
             while(k&&k+p[][k][i]->=j){
                 while(l<=r&&p[][que[r]][i]>=p[][k][i])
                     r--;
                 que[++r]=k--;
             }
             while(l<=r&&que[l]>j)
                 l++;
             re[j][i]=min(min(j-que[r]+,p[][que[l]][i]),re[j][i]);
         }
     }
     int ans=;
     for(int i=;i<=*n;i++){
         for(int j=((i^)&)+;j<=*m+;j+=)
             if((i&)==(j&))
                 ans+=re[i][j]>>;
     }
     printf("%d",ans);
 }