51nod 1295 XOR key 可持久化01字典树

题意

给出一个长度为\(n\)的正整数数组\(a\),再给出\(q\)个询问，每次询问给出3个数,\(L,R,X(L<=R)\).求\(a[L]\)至\(a[R]\)这\(R-L+1\)个数中，与\(x\)进行异或运算(Xor)，

得到的最大值为多少。

分析

前置知识：通过01字典树可以贪心的得到一个数与若干个数中进行异或运算的最大值。

在这里每次询问我们要得到\(a[L]\)至\(a[R]\)的数与\(x\)进行异或运算的最大值，每次建立区间\([L,R]\)的字典树来查询的话会超时而且浪费了大量空间。

这时我们需要可持久化01字典树！

对每个\(a[i]\)建立\(1\)至\(i\)的字典树(包含\(a[1]\)至\(a[i]\)的值的字典树),每次建立字典树并不需要真的把\(1\)至\(i\)的数一个一个的插入，因为当建立\([1,i]\)的字典树的时候我们可以用\([1,i-1]\)的字典树上面的节点，所以每次建立字典树的时候只需新增\(a[i]\)这一个值的节点,其余节点全用上个版本的字典树的节点。

每次建立字典树用\(sum\)数组记录当前节点(并不是节点的编号，而是在字典树结构中的节点)在\([1,i]\)中出现的次数,当查询至\([L,R]\)区间某节点的时候判断\(sum[son[R][j]]-sum[son[L-1][j]]\)是否大于0，即可知道这个节点是否在\([L,R]\)中出现过。

具体实现在代码中解释。

Code

    #include<bits/stdc++.h>
    #define fi first
    #define se second
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const double PI=acos(-1.0);
    const double eps=1e-6;
    const int inf=1e9;
    const ll mod=1e9+7;
    const int maxn=5e4+10;
    int n,q;
    int a[maxn];
    int root[maxn*40];//保存每颗字典树的根节点的数组
    int sum[maxn*40];//记录当前字典树每个节点的出现次数的数组
    int son[maxn*40][2];
    int tot;
    int insert(int x,int pre){
        int r=++tot,pos=r;
        for(int i=30;i>=0;i--){
            son[r][0]=son[pre][0];//指向上个版本的字典树中的节点
            son[r][1]=son[pre][1];
            int j=((x>>i)&1);
            son[r][j]=++tot;//新增x的节点
            r=son[r][j];pre=son[pre][j];//当前字典树与上个版本的字典树同时向下跑
            sum[r]=sum[pre]+1;//将新增的节点的出现次数++
        }
        return pos;//返回根节点
    }
    int query(int x,int l,int r){
        int ans=0;
        for(int i=30;i>=0;i--){
            int j=((x>>i)&1);j=!j;
            if(sum[son[r][j]]-sum[son[l][j]]>0){//大于0时，表明该节点在区间[l,r]中存在
                ans|=(1<<i);
            }else{
                j=!j;
            }
            r=son[r][j];l=son[l][j];//两颗字典树同时向下跑
        }
        return ans;
    }
    int main(){
        ios::sync_with_stdio(false);
        cin>>n>>q;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>a[i];
            root[i]=insert(a[i],root[i-1]);
        }
        while(q--){
            int x,l,r;
            cin>>x>>l>>r;
            cout<<query(x,root[l],root[r+1])<<endl;
        }
        return 0;
    }