Splay详解
平衡树实际很简单的
以下讲解都以Luogu P3369 【模板】普通平衡树为例
我不会带指针的Splay，所以我就写非指针型的Splay
Splay是基于二叉查找树（bst）实现的
什么是二叉查找树呢？就是一棵树呗,但是这棵树满足性质:一个节点的左孩子一定比它小，右孩子一定比它大
比如：
这就是一棵最基本二叉查找树
对于每次插入，它的期望复杂度大约是log^2 n级别的，但是存在极端情况，比如9999999 9999998 9999997.....1这种数据，会直接被卡成n^2级别
在这种情况下，平衡树出现了！
1.定义Splay
struct node
{
int v;//权值
int fa;//父亲节点
int ch[2];//0代表左儿子，1代表右儿子
int rec;//这个权值的节点出现的次数
int sum;//子节点的数量
}tree[N];//N为节点最多有多少
int tot;//tot表示不算重复的有多少节点
2.Splay的核心
Rotate
首先考虑一下，我们要把一个点挪到根，那我们首先要知道怎么让一个点挪到它的父节点
情况1：
当X是Y的左孩子时
ABC实际可以是子树，但这里假设ABC都是点
这时候如果我们让X成为Y的父亲，只会影响到3组点的关系
B与X，X与Y，X与R
根据二叉排序树的性质
B会成为Y的左儿子
Y会成为X的右儿子
X会成为R的儿子，具体是什么儿子，这个要看Y是R的啥儿子
情况2：
当X是Y的右孩子
本质上是和情况1一样的qaq
旋转后变成
能不能把这两种情况合并呢qaq？结果是肯定的
我们需要一个函数来确定这个节点是他父节点的左孩子还是右孩子
inline bool findd(register int x)
{
return tree[tree[x].fa].ch[0]==x?0:1;
}
如果是左孩子的话会返回0，右孩子会返回1
那么我们不难得到R，Y，X这三个节点的信息
int Y=tree[x].fa;
int R=tree[Y].fa;
int Yson=findd(x);
int Rson=findd(Y);
B的情况我们可以根据X的情况推算出来，根据运算的性质，01=1,11=0,21=3,3^1=2，而且B相对于X的位置一定是与X相对于Y的位置是相反的
（否则在旋转的过程中不会对B产生影响）
int B=tree[x].ch[Yson^1];
然后我们考虑连接的过程
根据上面的图，不难得到（自己向上翻qaq）
1.B成为Y的哪个儿子与X是Y的哪个儿子是一样的
2.Y成为X的哪个儿子与X是Y的哪个儿子相反
3.X成为R的哪个儿子与Y是R的哪个儿子相同
connect(B,Y,Yson);
connect(Y,x,Yson^1);
connect(x,R,Rson);
connect函数也很好写
inline void connect(register int x,register int fa,register int son) //把x转为fa的son(son是0/1，表示左孩子或右孩子)
{
tree[x].fa=fa;
tree[fa].ch[son]=x;
}
Rotate代码总览（旋转完不要忘了update）：
inline void update(register int x)
{
tree[x].sum=tree[tree[x].ch[0]].sum+tree[tree[x].ch[1]].sum+tree[x].rec;
}
inline bool findd(register int x)
{
return tree[tree[x].fa].ch[0]==x?0:1;
}
inline void connect(register int x,register int fa,register int son) //把x转为fa的son(son是0/1，表示左孩子或右孩子)
{
tree[x].fa=fa;
tree[fa].ch[son]=x;
}
inline void rotate(register int x)
{
int Y=tree[x].fa;
int R=tree[Y].fa;
int Yson=findd(x);
int Rson=findd(Y);
int B=tree[x].ch[Yson^1];
connect(B,Y,Yson);
connect(Y,x,Yson^1);
connect(x,R,Rson);
update(Y),update(x);
}
Splay
Splay(x,to)是实现把x节点搬到to节点
最简单的办法，对于x这个节点，每次上旋直到to
但是！
毒瘤的出题人可以构造数据把上面的这种方法卡到n^2 qaq*
下面我们介绍一下双旋的Splay
这里的情况有很多，但是总的来说就三种情况
1.to是x的爸爸，
这样的话吧x旋转上去就好
if(tree[tree[x].fa].fa==to)
rotate(x);
2.x和他爸爸和他爸爸的爸爸在一条线上（文字游戏）
其实就是findd(x)=findd(tree[x].fa)
这时候先把Y旋转上去，再把X旋转上去就好
if(findd(x)==find(tree[x].fa))
rotate(tree[x].fa),rotate(x);
3.x和他爸爸和他爸爸的爸爸不在一条线上（和2相反）
这时候把X旋转两次就好
spaly函数的代码：
inline void splay(register int x,register int to)
{
to=tree[to].fa;
while(tree[x].fa!=to)
{
int y=tree[x].fa;
if(tree[y].fa==to)
rotate(x);
else if(findd(x)==findd(y))
rotate(y),rotate(x);
else
rotate(x),rotate(x);
}
}
Splay的核心代码到此结束
剩下的就是一些其他的东西（虽说有的也挺重要qaq）
3.其他的一些函数
insert
根据前面讲的，我们在插入一个数之后，需要将其旋转到根
首先，当这棵树已经没有节点的时候，我们直接新建一个节点就好
inline int newpoint(register int v,register int fa)
{
tree[++tot].fa=fa;
tree[tot].v=v;
tree[tot].sum=tree[tot].rec=1;
return tot;
}
然后，当这可树有节点的时候，我们根据二叉查找树的性质，不断向下走，直到找到一个可以插入的点，注意在走的时候需要更新一个每个节点的sum值
inline void Insert(register int x)
{
int now=tree[0].ch[1];
if(tree[0].ch[1]==0)
{
newpoint(x,0);
tree[0].ch[1]=tot;
}
else
{
while(19260817)
{
++tree[now].sum;
if(tree[now].v==x)
{
++tree[now].rec;
splay(now,tree[0].ch[1]);
return;
}
int nxt=x<tree[now].v?0:1;
if(!tree[now].ch[nxt])
{
int p=newpoint(x,now);
tree[now].ch[nxt]=p;
splay(p,tree[0].ch[1]);
return;
}
now=tree[now].ch[nxt];
}
}
}
delete
删除的功能是：删除权值为v的节点
我们不难想到：我们可以先找到他的位置，再把这个节点删掉
找位置用find函数，不要和rotate的findd搞混
inline int find(register int v)
{
int now=tree[0].ch[1];
while(19260817)
{
if(tree[now].v==v)
{
splay(now,tree[0].ch[1]);
return now;
}
int nxt=v<tree[now].v?0:1;
if(!tree[now].ch[nxt])
return 0;
now=tree[now].ch[nxt];
}
}
下面我们需要删除函数
怎么样才能保证删除节点后整棵树还满足二叉查找树的性质
此时会出现几种情况
1.权值为v的节点已经出现过
这时候直接把他的rec和sum减去1就好
2.本节点没有左右儿子
这样的话就成了一棵空树
3.本节点没有左儿子
直接把他的右儿子设置成根
4.既有左儿子，又有右儿子
在它的左儿子中找到最大的，旋转到根，把它的右儿子当做根(也就是它最大的左儿子)的右儿子
最后把这个节点删掉就好
delete的代码
inline void delet(register int x)
{
int pos=find(x);
if(!pos)
return;
if(tree[pos].rec>1)
{
--tree[pos].rec;
--tree[pos].sum;
}
else
{
if(!tree[pos].ch[0]&&!tree[pos].ch[1])
tree[0].ch[1]=0;
else if(!tree[pos].ch[0])
{
tree[0].ch[1]=tree[pos].ch[1];
tree[tree[0].ch[1]].fa=0;
}
else
{
int left=tree[pos].ch[0];
while(tree[left].ch[1])
left=tree[left].ch[1];
splay(left,tree[pos].ch[0]);
connect(tree[pos].ch[1],left,1);
connect(left,0,1);
update(left);
}
}
}
rank
1.查询x数的排名
十分简短
inline int rank(register int v)
{
int pos=find(v);
return tree[tree[pos].ch[0]].sum+1;
}
2.查询排名为x的数
这个操作就是上面那个操作的逆向操作
inline int arank(register int x)
{
int now=tree[0].ch[1];
while(19260817)
{
int used=tree[now].sum-tree[tree[now].ch[1]].sum;
if(x>tree[tree[now].ch[0]].sum&&x<=used)
{
splay(now,tree[0].ch[1]);
return tree[now].v;
}
if(x<used)
now=tree[now].ch[0];
else
x-=used,now=tree[now].ch[1];
}
}
求前驱和后继
前驱
这个更容易，我们可以维护一个ans变量，然后对整棵树进行遍历，同时更新ans
inline int lower(register int v)
{
int now=tree[0].ch[1];
int ans=-inf;
while(now)
{
if(tree[now].v<v&&tree[now].v>ans)
ans=tree[now].v;
if(v>tree[now].v)
now=tree[now].ch[1];
else
now=tree[now].ch[0];
}
return ans;
}
后继
和前驱差不多
inline int upper(register int v)
{
int now=tree[0].ch[1];
int ans=inf;
while(now)
{
if(tree[now].v>v&&tree[now].v<ans)
ans=tree[now].v;
if(v<tree[now].v)
now=tree[now].ch[0];
else
now=tree[now].ch[1];
}
return ans;
}
4.Spaly整体代码
#pragma GCC optimize("O3")
#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define inf 1000000005
using namespace std;
inline int read()
{
register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
static int sta[36];int tot=0;
while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
struct node
{
int v;
int fa;
int ch[2];
int rec;
int sum;
}tree[N];
int tot;
inline void update(register int x)
{
tree[x].sum=tree[tree[x].ch[0]].sum+tree[tree[x].ch[1]].sum+tree[x].rec;
}
inline bool findd(register int x)
{
return tree[tree[x].fa].ch[0]==x?0:1;
}
inline void connect(register int x,register int fa,register int son) //把x转为fa的son(son是0/1，表示左孩子或右孩子)
{
tree[x].fa=fa;
tree[fa].ch[son]=x;
}
inline void rotate(register int x)
{
int Y=tree[x].fa;
int R=tree[Y].fa;
int Yson=findd(x);
int Rson=findd(Y);
int B=tree[x].ch[Yson^1];
connect(B,Y,Yson);
connect(Y,x,Yson^1);
connect(x,R,Rson);
update(Y),update(x);
}
inline void splay(register int x,register int to)
{
to=tree[to].fa;
while(tree[x].fa!=to)
{
int y=tree[x].fa;
if(tree[y].fa==to)
rotate(x);
else if(findd(x)==findd(y))
rotate(y),rotate(x);
else
rotate(x),rotate(x);
}
}
inline int newpoint(register int v,register int fa)
{
tree[++tot].fa=fa;
tree[tot].v=v;
tree[tot].sum=tree[tot].rec=1;
return tot;
}
inline void Insert(register int x)
{
int now=tree[0].ch[1];
if(tree[0].ch[1]==0)
{
newpoint(x,0);
tree[0].ch[1]=tot;
}
else
{
while(19260817)
{
++tree[now].sum;
if(tree[now].v==x)
{
++tree[now].rec;
splay(now,tree[0].ch[1]);
return;
}
int nxt=x<tree[now].v?0:1;
if(!tree[now].ch[nxt])
{
int p=newpoint(x,now);
tree[now].ch[nxt]=p;
splay(p,tree[0].ch[1]);
return;
}
now=tree[now].ch[nxt];
}
}
}
inline int find(register int v)
{
int now=tree[0].ch[1];
while(19260817)
{
if(tree[now].v==v)
{
splay(now,tree[0].ch[1]);
return now;
}
int nxt=v<tree[now].v?0:1;
if(!tree[now].ch[nxt])
return 0;
now=tree[now].ch[nxt];
}
}
inline void delet(register int x)
{
int pos=find(x);
if(!pos)
return;
if(tree[pos].rec>1)
{
--tree[pos].rec;
--tree[pos].sum;
}
else
{
if(!tree[pos].ch[0]&&!tree[pos].ch[1])
tree[0].ch[1]=0;
else if(!tree[pos].ch[0])
{
tree[0].ch[1]=tree[pos].ch[1];
tree[tree[0].ch[1]].fa=0;
}
else
{
int left=tree[pos].ch[0];
while(tree[left].ch[1])
left=tree[left].ch[1];
splay(left,tree[pos].ch[0]);
connect(tree[pos].ch[1],left,1);
connect(left,0,1);
update(left);
}
}
}
inline int rank(register int v)
{
int pos=find(v);
return tree[tree[pos].ch[0]].sum+1;
}
inline int arank(register int x)
{
int now=tree[0].ch[1];
while(19260817)
{
int used=tree[now].sum-tree[tree[now].ch[1]].sum;
if(x>tree[tree[now].ch[0]].sum&&x<=used)
{
splay(now,tree[0].ch[1]);
return tree[now].v;
}
if(x<used)
now=tree[now].ch[0];
else
x-=used,now=tree[now].ch[1];
}
}
inline int lower(register int v)
{
int now=tree[0].ch[1];
int ans=-inf;
while(now)
{
if(tree[now].v<v&&tree[now].v>ans)
ans=tree[now].v;
if(v>tree[now].v)
now=tree[now].ch[1];
else
now=tree[now].ch[0];
}
return ans;
}
inline int upper(register int v)
{
int now=tree[0].ch[1];
int ans=inf;
while(now)
{
if(tree[now].v>v&&tree[now].v<ans)
ans=tree[now].v;
if(v<tree[now].v)
now=tree[now].ch[0];
else
now=tree[now].ch[1];
}
return ans;
}
int main()
{
int m=read();
while(m--)
{
int opt=read(),x=read();
if(opt==1)
Insert(x);
else if(opt==2)
delet(x);
else if(opt==3)
{
write(rank(x));
printf("\n");
}
else if(opt==4)
{
write(arank(x));
printf("\n");
}
else if(opt==5)
{
write(lower(x));
printf("\n");
}
else
{
write(upper(x));
printf("\n");
}
}
return 0;
}
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以上是splay的基本应用qaq
还有一种操作没讲，就是如何进行区间操作
实现起来很简单
假设我们要在[l,r]之间上搞事情，我们首先把l的前驱旋转到根节点，再把r的后继转到根节点的右儿子
那么此时根节点右儿子的左儿子代表的就是区间[l,r]
这应该很好理解qaq
然后就可以像线段树的lazy标记一样，给区间l,rl,r打上标记，延迟更新，比如区间反转的时候更新的时候直接交换左右儿子
我们下面以P3391 【模板】文艺平衡树（Splay）为例
这里有一个奇技淫巧：如果一个区间被打了两次，那么就相当于不打
所以我们用一个bool变量来储存该节点是否需要被旋转
pushdown函数可以这么写（rev就是翻转标记）
inline void pushdown(register int x)
{
if(tree[x].rev)
{
swap(tree[x].ch[0],tree[x].ch[1]);
tree[tree[x].ch[0]].rev^=1;
tree[tree[x].ch[1]].rev^=1;
tree[x].rev=0;
}
}
这道题完整代码
#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define inf 0x7fffff
using namespace std;
inline int read()
{
register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
static int sta[36];int cnt=0;
while(x)sta[cnt++]=x%10,x/=10;
while(cnt)putchar(sta[--cnt]+48);
}
int n,m;
struct node{
int fa,ch[2],tot;
bool rev;
}tree[N];
int root,PosL,PosR;
inline bool findd(register int x)
{
return x==tree[tree[x].fa].ch[1];
}
inline void connect(register int x,register int fa,register int son)
{
tree[x].fa=fa;
tree[fa].ch[son]=x;
}
inline void update(register int x)
{
tree[x].tot=tree[tree[x].ch[0]].tot+tree[tree[x].ch[1]].tot+1;
}
inline void rotate(register int x)
{
int Y=tree[x].fa;
if(Y==root)
root=x;
int R=tree[Y].fa;
int Yson=findd(x);
int Rson=findd(Y);
int B=tree[x].ch[Yson^1];
connect(B,Y,Yson);
connect(Y,x,Yson^1);
connect(x,R,Rson);
update(Y);
update(x);
}
inline void splay(register int x,register int to)
{
while(tree[x].fa!=to)
{
int y=tree[x].fa;
if(tree[y].fa==to)
rotate(x);
else if(findd(x)==findd(y))
rotate(y),rotate(x);
else
rotate(x),rotate(x);
}
update(x);
}
inline int buildsplay(register int l,register int r)
{
if(l>r)
return 0;
int mid=l+r>>1;
connect(buildsplay(l,mid-1),mid,0);
connect(buildsplay(mid+1,r),mid,1);
tree[mid].rev=0;
update(mid);
return mid;
}
inline void pushdown(register int x)
{
if(tree[x].rev)
{
swap(tree[x].ch[0],tree[x].ch[1]);
tree[tree[x].ch[0]].rev^=1;
tree[tree[x].ch[1]].rev^=1;
tree[x].rev=0;
}
}
inline int find(register int x)
{
int now=root;
--x;
pushdown(now);
while(x!=tree[tree[now].ch[0]].tot)
{
if(tree[tree[now].ch[0]].tot<x)
x-=tree[tree[now].ch[0]].tot+1,now=tree[now].ch[1];
else
now=tree[now].ch[0];
pushdown(now);
}
return now;
}
inline void print(register int now)
{
if(!now)
return;
pushdown(now);
print(tree[now].ch[0]);
if(now!=1&&now!=n+2)
write(now-1),putchar(' ');
print(tree[now].ch[1]);
}
int main()
{
n=read(),m=read();
root=buildsplay(1,n+2);
while(m--)
{
int l=read(),r=read();
PosL=find(l);
splay(PosL,0);
PosR=find(r+2);
splay(PosR,root);
tree[tree[PosR].ch[0]].rev^=1;
}
print(root);
return 0;
}
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